Enunciado

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Resolva o problema de valor limite, se possível.

y ' ' + 4 y ' + 20 y = 0 ,     y 0 = 1 ,     y π = 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar dessa EDO é:

r 2 + 4 r + 20 = 0

Resolvendo, temos que:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r = - 4 ± 16 - 80 2

Podemos dizer que as raízes são:

r = - 2 ± 4 i

Como as raízes possuem uma parte real e uma parte complexa, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y = e - 2 x c 1 cos ⁡ 4 x + c 2 sen ⁡ 4 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar o valor das constantes:

y 0 = e 0 c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0

1 = c 1 + 0

c 1 = 1

Para a segunda condição, temos:

y π = e - 2 π c 1 cos ⁡ 4 π + c 2 sen ⁡ 4 π

2 = e - 2 π 1 + 0

Como sabemos que:

e - 2 π ≠ 2

Podemos concluir que o problema do valor limite apresentado não possui solução.

Resposta

O problema do valor limite apresentado não possui solução.

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