Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - Capítulo 1.4 - Ex. 17a

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Para resolver os exercícios 16 e 17 , o aluno deve ter familiaridade com as equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Uma partícula partindo do ponto 1 3 , 0 se move com vetor posição σ t = x t , y t . Sabe-se que o vetor velocidade em cada instante t é dado por V t = - y t , 3   x t .

  1. Mostre que, em cada instante t , o vetor aceleração é paralelo ao vetor posição.

Passo 1

Show. Antes de mais nada, vale lembrar que, pra que A t e σ t sejam paralelos, deve valer:

A t = k ∙ σ t

Onde k é uma constante real qualquer. Beleza, agora, das definições, temos o seguinte:

σ t = x t , y t

V t = σ ' t = x ' t , y ' t

A t = σ ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

E olha só, o enunciado dá pra gente uma informação de ouro pra resolver essa questão:

V t = x ' t , y ' t = - y t , 3   x t

x ' t = - y t y ' t = 3   x t

Isso tá estranho né? Mas da pra tirar informações valiosas disso! O próprio sistema de equações nos ajuda. Dá uma olhada nessa manipulação doida:

x ' t = - y t

y t = - x ' t

Derivando:

y ' t = - x ' ' t

Da segunda linha do sistema de equações, trocamos y ' t e ficamos com:

3   x t = - x ' ' t

x ' ' t = - 3 x t

Seguindo a mesma lógica, começando da segunda linha do sistema:

y ' t = 3   x t

y ' ' t = 3   x ' t

E da primeira linha, trocamos x ' t e ficamos com:

y ' ' t = - 3   y t

Logo:

x ' ' t = - 3   x t y ' ' t = - 3   y t

E seja:

A t = σ ' ' t = x ' ' t , y ' ' t

Fechamos então a questão!!! Afinal:

A t = - 3   x t , - 3   y t

A t = - 3 ∙   x t , y t

A t = - 3 ∙ σ t

Resposta

Os vetores são paralelos pois vale A t = - 3 ∙ σ t

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