Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 6.6 - Ex. 25

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desse livro

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.

∫ x n ln ⁡ x d x ,   n   ϵ   N

Passo 1

Utilizando a integração por partes, temos:

u = ln ⁡ x ;

d u = 1 x d x ;

d v = x n   d x ;

v = ∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 .

∫ u d v = u ⋅ v - ∫ v d u

∫ u d v = ln ⁡ x ⋅ x n + 1 n + 1 - ∫ x n + 1 n + 1 ⋅ 1 x d x

∫ u d v = x n + 1 n + 1 ln ⁡ x - 1 n + 1 ⋅ x n + 1 n + 1

Como se trata de uma integral indefinida, não podemos esquecer da constante de indefinição:

x n + 1 n + 1 ln ⁡ x - x n + 1 n + 1 2 + c

Resposta

x n + 1 n + 1 ln ⁡ x - x n + 1 n + 1 2 + c

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