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A reta s para pelo ponto 3,0 e é normal ao gráfico de f x = x 2 no ponto a , b .

a) Determine a , b .

b) Determine a equação de s .

Passo 1

a) Temos que se s é normal a f no ponto a , b , então, a , b pertence à curva.

Assim, podemos dizer que:

b = f a

b = a 2

Então, a , b = a , a 2 .

Temos ainda que a derivada de f x é dada por:

f ' x = 2 x

f ' a = 2 a

Desse modo, podemos aplicar a fórmula da equação da reta normal:

y - f x 0 = - 1 f ' x 0 x - x 0

Tomando x 0 = a temos que a equação da reta s é dada por:

y - f a = - 1 f ' a x - a

y - a 2 = - 1 2 a x - a

Passo 2

Se nos foi dado que 3,0 pertence a s , podemos substituir o ponto em x , y :

0 - a 2 = - 1 2 a 3 - a

2 a 3 + a - 3 = 0

a = 1

A única solução da equação é a = 1 .

Se a = 1 :

b = a 2 = 1 2 = 1

Logo, o ponto a , b = 1,1

Passo 3

b) Se achamos o valor de a , basta substituir:

y - a 2 = - 1 2 a x - a

y - 1 = - 1 2 x - 1

y = - 1 2 x + 1 2 + 1

y = - 1 2 x + 3 2

Resposta

a) a , b = 1,1

b) y = - 1 2 x + 3 2

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