Enunciado

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Se a reta tangente a y = f ( x ) em ( 4,3 ) passar pelo ponto   ( 0,2 ) , encontre f 4   e   f ' ( 4 )

Passo 1

Uma reta possui uma equação da forma

y = a x + b

Se a reta tangente passa pelos ponto ( 4,3 ) e ( 0,2 ) , então, podemos montar um sistema com esses valores:

3 = a 4 + b 2 = a 0 + b

Então,

b = 2

Substituindo na primeira equação,

3 = 4 a + 2

Ficamos com,

a = 1 4

Então, temos que a equação da reta tangente é

y = x 4 + 2

Passo 2

Como o enunciado nos dá que a reta tangente é no ponto ( 4,3 ) , e temos que em uma função um ponto é dado por x , f x , temos que f 4 = 3

Passo 3

Agora, iremos calcular o valor de f ' ( 4 ) , sabemos que f ' 4 = m e também que

y - y 1 = m ( x - x 1 )

Pelo enunciado do problema, como queremos o ponto 4,3 , temos que

x 1 = 4   e   y 1 = 3

Substituindo na equação, ficamos com

y - 3 = m ( x - 4 )

y - 3 = m x - 4 m

y = m x - 4 m + 3

Como descobrimos anteriormente, a equação da reta tangente é

y = x 4 + 2

Igualando as duas equações temos que

m x - 4 m + 3 = x 4 + 2

Com isso, temos que

m = 1 4

Ou seja,

m = f ' ( 4 ) = 1 4

Resposta

f 4 = 3

f ' ( 4 ) = 1 4

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