Enunciado

Se f e g são funções pares, o produto f g é par? Se f   e g são funções ímpares, f g é ímpar? O que se pode dizer se f for par e g for ímpar? Justifique suas respostas.

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão nos dá duas funções f e g ... e nos faz 3 perguntinhas:

  • Se f e g são funções pares, então o produto f * g é par?
  • Se f e g são funções ímpares, o produto f * g é ímpar?
  • E se f for par e g for ímpar?

Para respondermos isso, precisamos entender o que são funções pares e ímpares.

Então, para uma função f x se par, ela precisa seguir a seguinte condição:

f - x = f x

Agora, se ela for ímpar temos a seguinte condição:

f - x = - f x

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Agora vamos para parte prática, para o produto entre duas funções, temos:

f g x = f x ∙ g x

Para definir se a função será par ou ímpar, vamos comparar f x com   f - x se for par, e f - x com - f - x se for ímpar.

Se elas são pares:

f g x = f - x ∙ g - x ∴

f g x = f x ∙ g x ∴

f g x = f g x

Obtemos uma função par.

Passo 3

Se ambas forem ímpares:

f g x = f - x ∙ g - x ∴

f g x = - f x ∙ - g x ∴

f g x = f x ∙ g x ∴

f g x = f g x

Obtemos uma função par.

Passo 4

Agora se uma for par e outra ímpar:

f g x = f x ∙ g - x ∴

f g x = f x ∙ - g x ∴

f g x = - f x g x ∴

f g x = - f g x

Temos como resultado uma função ímpar.

Arrasamos!!!!!!

Bora matar mais uma?????

Resposta

O produto entre duas funções pares e/ou ímpares resulta em uma função par, e o produto entre uma função par e outra ímpar resulta em uma função ímpar.

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