Enunciado

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  1. Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que
  2. ∫ C x   d y - y   d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  3. Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 , … ,     ( x n , y n ) , mostre que a área do polígono é
  4. A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 + … + x n - 1 y n - x n y n - 1 + x n y 1 - x 1 y n

  5. Determine a área do pentágono com vértices 0,0 , 2,1 , 1,3 , ( 0,2 ) e ( - 1,1 )

Passo 1

  1. Se queremos uma reta de ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , podemos parametrizar da seguinte forma
  2. r t = x 1 + t x 2 - x 1 , y 1 + t y 2 - y 1 ,   0 ≤ t ≤ 1

    r ' t = x 2 - x 1 , y 2 - y 1

    E temos que a integral de linha é dada por

    ∫ C F ⋅ d r

    Onde F = ( - y , x )

    = ∫ 0 1 - y 1 - t y 2 - y 1 , x 1 + t x 2 - x 1 ⋅ x 2 - x 1 , y 2 - y 1 d t

    = ∫ 0 1 - y 1 x 2 - x 1 - t y 2 - y 1 x 2 - x 1 + x 1 y 2 - y 1 + t x 2 - x 1 y 2 - y 1 d t

    = ∫ 0 1 - y 1 x 2 - x 1 + x 1 y 2 - y 1 d t = - y 1 x 2 + y 1 x 1 + x 1 y 2 - x 1 y 1

    = x 1 y 2 - x 2 y 1

    Passo 2

  3. Se temos um polígono de vértices x 1 , y 1 ,   x 2 , y 2 , … ,     ( x n , y n ) , podemos determinar a área por (5) da forma
  4. A = ∮ C x   d y = - ∮ C y   d x = 1 2 ∮ C x   d y - y   d x

    Se usarmos a ultima integral e dividirmos a curva em várias retas, temos uma fórmula para a resolução da integral de cada reta

    A = 1 2 ∮ C x   d y - y   d x

    Vamos dizer que r m é a parametrização de reta C m como fizemos no item a do ponto ( x m , y m ) até ( x m + 1 , y m + 1 ) e se m = n é a reta que liga o ultimo ponto de volta no primeiro então

    A = 1 2 ∫ C 1 x   d y - y   d x + ∫ C 2 x   d y - y   d x + … + ∫ C n - 1 x   d y - y   d x + ∫ C n x   d y - y   d x

    A = 1 2 ( x 1 y 2 - x 2 y 1 ) + ( x 2 y 3 - x 3 y 2 ) + … + x n - 1 y n - x n y n - 1 + x n y 1 - x 1 y n

    Passo 3

  5. Para calcular a área do polígono, vamos usar o que encontramos no item (b)

A = 1 2 0 1 - 2 0 + 2 3 - 1 1 + 1 2 - 0 3 + ( 0 ) ( 1 ) - ( - 1 ) ( 2 ) + ( - 1 ) ( 0 ) - ( 0 ) ( 1 )

= 1 2 0 + 5 + 2 + 2 + 0 = 1 2 9

A = 9 2

Resposta

(c)

A = 9 2

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