Enunciado

14. Determinar a área entre as elipses:

(a) 4 x^2 + y^2 = 4 e (x^2)/(9) + (y^2)/(4) = 1

Passo 1

Para a primeira elipse:

Vamos usar a fórmula

A = (1)/(2) int_C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x = c o s theta

d x = - s e n theta d theta

y = 2 s e n theta

d y = 2 c o s theta d theta

Substituindo

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) (c o s theta) ( 2 c o s theta d theta ) - (2 s e n theta) (- s e n theta d theta)

= (1)/(2) int_0^(2 pi) 2 ((c o s theta)^2 + (s e n theta)^2) d theta

= (1)/(2) int_0^(2 pi) 2 d theta = 2 pi

Passo 2

Para a segunda elipse:

Vamos usar a fórmula

A = (1)/(2) int_C x d y - y d x

Usando a equação paramétrica da elipse (com theta variando de 0 a 2pi)

x = 3 c o s theta

d x = - 3 s e n theta d theta

y = 2 s e n theta

d y = 2 c o s theta d theta

Substituindo

A = (1)/(2) int_0^(2 pi) (3 c o s theta) ( 2 c o s theta d theta ) - (2 s e n theta) (- 3 s e n theta d theta)

= (1)/(2) int_0^(2 pi) 6 ((c o s theta)^2 + (s e n theta)^2) d theta

= (1)/(2) int_0^(2 pi) 6 d theta = 6 pi

Agora é só subtrair uma área da outra

6 pi - 2 pi = 4 pi

Resposta

4 pi

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