Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 13.4 - Ex. 24

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Seja F r , θ , z = f ( x , y , z ) , com x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ , onde f é suposta diferenciável num aberto do R 3 . Prove que

∇ f x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , z   u → + 1 r ∂ F ∂ θ r , θ , z   v → + ∂ F ∂ z r , θ , z   k → ,

onde u → = cos ⁡ θ   i → + s e n   θ   j → e v → = - s e n   θ   i → + cos ⁡ θ   j → .

Passo 1

Esse é um problema que pede para deduzirmos uma fórmula para o gradiente em coordenadas cilíndricas

x = r cos ⁡ θ y = r   s e n   θ z = z

Vamos considerar a base u → , v → , k → , com u → = cos ⁡ θ   i → + s e n   θ   j → e v → = - s e n   θ   i → + cos ⁡ θ   j → . Note que todos os vetores da base são unitários e dois a dois ortogonais. Trata-se, portanto, de uma base ortonormal, de modo que podemos usar o resultado do exercício 23:

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ u → x , y , z   u → + ∂ f ∂ v → x , y , z   v → + ∂ f ∂ k → x , y , z   k →

O que temos que fazer agora é provar que

∂ f ∂ u → x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , z

∂ f ∂ v → x , y , z = 1 r ∂ F ∂ θ r , θ , z

∂ f ∂ k → x , y , z = ∂ F ∂ z r , θ , z

Passo 2

Vamos proceder da seguinte maneira: primeiro vamos derivara F com relação a r usando a regra da cadeia:

∂ F ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ z ∂ r

Como x = r cos ⁡ θ e y = r   s e n   θ , temos que

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ ,           ∂ y ∂ r = s e n   θ         e           ∂ z ∂ r = 0

Assim,

∂ F ∂ r = ∂ f ∂ x ⋅ cos ⁡ θ + ∂ f ∂ y ⋅ s e n   θ + ∂ f ∂ z ⋅ 0 = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   0 )

Portanto,

∂ F ∂ r = ∇ f ⋅ u → = ∂ f ∂ u →

Provamos a primeira relação! Agora fazemos o mesmo para as demais:

∂ F ∂ θ = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ = ∂ f ∂ x ⋅ ( - r   s e n   θ ) + ∂ f ∂ y ⋅ ( r cos ⁡ θ ) + ∂ f ∂ z ⋅ 0

Assim,

∂ F ∂ θ = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ - r   s e n   θ ,   r cos ⁡ θ ,   0 = r   ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ - s e n   θ , cos ⁡ θ ,   0

Logo,

∂ F ∂ θ = r   ∇ f ⋅ v → ⇒ ∇ f ⋅ v → = ∂ f ∂ v → = 1 r ∂ F ∂ θ

Passo 3

Por fim,

∂ F ∂ z = ∂ f ∂ x ⋅ ∂ x ∂ z + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ y ∂ z + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ z ∂ z = ∂ f ∂ x ⋅ 0 + ∂ f ∂ y ⋅ 0 + ∂ f ∂ z ⋅ 1

Logo,

∂ F ∂ z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ⋅ 0 ,   0 ,   1 = ∇ f ⋅ k → = ∂ f ∂ k →

Assim, concluímos que

∇ f x , y , z = ∂ F ∂ r r , θ , z   u → + 1 r ∂ F ∂ θ r , θ , z   v → + ∂ F ∂ z r , θ , z   k →

Resposta

Demonstração.

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