Enunciado

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x 4 + y 4 + z 4 = 2 x 2 y 2 z 2 ,                   ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 1

Queremos a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado. Para isso, vamos interpretar a superfície com uma superfície de nível 0 da função

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 - 2 x 2 y 2 z 2

O vetor normal ao plano será o gradiante dessa função:

∇ f x , y , z = ( 4 x 3 - 4 x y 2 z 2 , 4 y 3 - 4 x 2 y z 2 ,   4 z 3 - 4 x 2 y 2 z )

Usando x ,   y ,   z = ( 1 ,   1 ,   1 ) :

∇ f = ( 0 ,   0 ,   0 )

Como o gradiente é nulo, não faz sentido falar de plano tangente ou reta normal nesse problema...

Resposta

Não tem plano tangente nem reta normal.

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = e xs e ny , 0 , π 3 ,v → = ( - 6 ,8 )
a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = s e n2 x + 3 y , P - 6 ,4 ,u → = 1 2 3 ,- 1
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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = x 3 y 4 - x 4 y 3 , 1 ,1 ,θ = π / 6
a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = y 2 x , P 1 ,2 ,u → = 1 3 2 ,5