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Seja f x = a x 3 + b x 2 + c x + d , onde a > 0 , b , c , d são reais dados. Prove que existem número reais x 1 e x 2 tais que f x 1 < 0 e f x 2 > 0 .

Passo 1

Como temos a > 0 :

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ a x 3 + b x 2 + c x + d = lim x → + ∞ ⁡ x 3 a + b x + c x 2 + d x 3 = + ∞ × a = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

Passo 2

Do mesmo modo,

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ a x 3 + b x 2 + c x + d = lim x → - ∞ ⁡ x 3 a + b x + c x 2 + d x 3 = - ∞ × a = - ∞

lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

Assim, encontraremos tanto valores negativos na função, quanto valores positivos.

Logo, existem x 1 e x 2 tais que f x 1 < 0 e f x 2 > 0 .

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Calcule o limite, se existir. lim t → 0 ⁡ 1 t 1 + t - 1 t
Encontre o limite lim x → - ∞ ⁡ x + x 2 + 2 x
Encontre o limite lim x → ∞ ⁡ x 2 + a x - x 2 + b x
Estime o valor de lim x → - ∞ ⁡ x 2 + x + 1 + x   usando uma tabela de valores para f ( x ) para conjecturar o valor do limite. Demonstre que sua conjectura está correta.
Calcule. lim x → 2 + ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 x + 4
Calcule. lim x → 0 - ⁡ 1 x
Calcule. lim x → 0 + ⁡ 2 x + 1 x
Calcule. lim x → 0 + ⁡ 2 x + 1 x 2 + x
Calcule. lim x → - 1 + ⁡ 3 x 2 - 4 1 - x 2
Calcule. lim x → 3 + ⁡ x 2 - 3 x x 2 - 6 x + 9
Calcule. lim x → 0 - ⁡ 3 x 2 - x
Calcule. lim x → 1 2 + ⁡ 3 x + 1 4 x 2 - 1