Enunciado

Seja f x = x 5 - 5 x 3 - 20 x - 2 . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 5 . x 4 - 5.3 . x 2 - 20.1 . x 0 - 0 ⇒

f ' x = 5 x 4 - 15 x 2 - 20

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

5 x 4 - 15 x 2 - 20 = 0

Agora, tomando x 2 como outra variável, t por exemplo, teremos t = x 2 e assim:

5 t 2 - 15 t - 20 = 0

Dividindo todos os termos por 5 temos:

t 2 - 3 t - 4 = 0 ⇒

∆ = - 3 2 - 4 . 1 . - 4 ⇒

∆ = 9 + 16 = 25 ⇒

t = - ( - 3 ) ± 25 2 . ( 1 ) ⇒

t = 3 + 5 2 = 8 2 o u 3 - 5 2 = - 2 2 ⇒

Logo:

t = 4 ou t = - 1

Agora devemos lembrar que t = x 2 , isto é, x = ± t e que estamos procurando os valores de x , portanto:

x = ± 4 ou x = ± - 1

x = ± 2

Como não existe raiz quadrada de números negativos, não há a possibilidade de pontos críticos de f quando x = ± - 1 , assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = - 2 e quando x = 2 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 2 e em x = 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

→ - 2 < x < 2 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = - 2 temos um ponto de máximo relativo e em x = 2 temos pontos de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x 5 - 5 x 3 - 20 x - 2 . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x 5 - 5 x 3 - 20 x - 2 é decrescente no intervalo ( - 2 ,   2 ) , crescente nos intervalos - ∞ , - 2 e ( 2 ,   + ∞ ) , admite mínimo relativo em x = 2 e máximo relativo em x = - 2 .

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