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Seja x 0 , y 0 , x 0 > 0 e y 0 > 0 , um ponto da elipse x 2 + 4 y ² = 1 . Seja T a reta tangente à elipse no ponto ( x 0 , y 0 ) .

  1. Verifique que T tem por equação x 0 x + 4 y 0 y = 1  
  2. Determine x 0 de modo que a área do triângulo determinado por T e pelos eixos coordenados seja mínima.

Passo 1

Bem, primeiramente vamos reescrever a equação da elipse:

x 1 2   + y 1 2 2 = 1

Dessa forma, podemos desenhar a elipse:

Passo 2

a) Bem, para determinar a reta tangente a um ponto, vamos utilizar a ideia de que o valor da derivada no ponto é o coeficiênte da reta. Para isso, vamos encontrar y como função de x :

y 2 = 1 - x 2 4  

  y = ± 1 - x 2 4 =   ± 1 2 1 - x 2  

Pelo enunciado, os pontos estão no primeiro quadrante, assim:

y = 1 2 1 - x 2  

Derivando:

y ' = 1 2 1 2   - 2 x 1 - x 2 =   - 1 2   x 1 - x 2

Dessa forma,

y ' x 0 = - 1 2   x 0 1 - x 0 2  

Agora, podemos aplicar a equação da reta tangente:

y - y 0 = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

y - y 0 = - 1 2   x 0 1 - x 0 2 ( x - x 0 )

Utilizando a equação da elipse, temos que:

x 0 2 + 4 y 0 2 = 1

Portanto:

y - y 0 = - 1 2   x 0 4 y 0 2 x - x 0 =   - 1 2   x 0 2 y 0   x - x 0

y - y 0 4   y 0   = - x 0 x - x 0

4 y 0   y + x 0 x = 4 y 0 2 + x 0 2 = 1

Passo 3

(b) Bem, vamos achar os pontos do triângulo formado pela reta T e os eixos. Um ponto é quando x = 0 e o outro quando y = 0 , quando x =   0 :

4 y 0 y = 1

y = 1 4 y 0

Agora, quando y   =   0   :

x 0   x = 1 → x = 1 x 0

Assim, a área é dada por:

A = 1 4 y 0 1 x 0  

Porém, precisamos achar uma expressão para área em relação a x 0 , portanto vamos usar a seguinte relação:

x 0 2 + 4 y 0 2 = 1

2 y 0   = 1 - x 0 2

Portanto,

A = 1 2 1 - x 0 2 1 x 0 = 1 2 x 0 1 - x 0 2  

Para achar o mínimo, vamos derivar e igualar a zero:

A ' x 0 = 2 x 0 2 - 1 2 x 0 2 1 - x 0 2 3 2 = 0  

2 x 0 2 - 1 = 0  

x 0 = 1 2 = 2 2

Resposta

  1. 4 y 0   y + x 0 x = 1
  2. x 0 = 1 2 = 2 2

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