Enunciado

Nos exercícios 18 a 24, representar geometricamente o campo gradiente definido pela função dada:

19. u x ,   y = 2 x + 4 y .

Passo 1

Então pessoal, calcular o gradiente de um campo escalar quando temos uma função bem definidinha, assim como é o nosso caso, é bem tranquilo, tá? Basta derivarmos parcialmente em relação a cada eixo e botar tudo numa soma, desse jeito aqui ó:

g r a d   f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Sendo assim, só precisamos encontrar essas derivadas e substituir em seus devidos lugares, ok? Então let’s go!

Passo 2

Para x a derivada parcial será:

∂ u ∂ x = 2

Para y a derivada parcial será:

∂ u ∂ y = 4

Dessa forma, nosso gradiente será:

g r a d   u = 2 i → + 4 j →

Passo 3

O gradiente de uma função é um vetor que aponta o sentido e a direção de maior incremento possível em um campo escalar. Se esboçarmos esse gradiente graficamente, teremos algo parecido com o seguinte:

E está aí nosso resultado, galera!

Resposta

g r a d   u = 2 i → + 4 j →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

9. Sejam f x , y = y - x 2eγ t = ( s e n t ,s e n 2 t ) . a) Verifique que a imagem de γ está contida na curva de nível y - x 2 = 0 . b) Desenhe a imagem de γ . c) Verifique que para todo t, γ ' t ⋅ ∇
Determine o gradiente da função fx ,y ,z = x 2 e y z 2 .
Considere a função f x , y , z = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 e seja γ t = x t ,y t ,z t uma curva diferenciável qualquer, com imagem contida na superfície de nível x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 1 , e tal que γ t 0 =
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.26. f p ,q ,r = a r c tan ⁡ p q r ,1 ,2 ,1
14.47. Se f x , y = x 2 + 4 y 2 , determine o vetor gradiente ∇ f 2,1 e use-o para determinar a reta tangente à curva de nível da função f x , y = 8 no ponto 2,1 . Esboce as curvas de nível, reta tang