Enunciado

Nestes exercícios, dê as respostas com tantas casas decimais quantas forem permitidas por seu recurso computacional, mas siga o procedimento delineado na caixa Domínio da Tecnologia à página 298 .

Use um recurso gráfico computacional para determinar quantas soluções tem a equação e, então, use o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça a condição dada.

sen ⁡ x = x 2 ;           x > 0

Passo 1

Vamos olhar no gráfico abaixo quantas soluções tem a equação:

No gráfico notamos que possui duas soluções, vamos agora usar o Método de Newton para aproximar a solução que satisfaça x > 0 , vamos lá!!

Passo 2

Vamos agora aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Ah, e vamos usar a função como:

sen ⁡ x = x 2 → sen ⁡ x - x 2 = 0

Passo 3

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = sen ⁡ x - x 2 ' = cos ⁡ x - 2 x 2 - 1 = cos ⁡ x - 2 x

Passo 4

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - sen ⁡ x n - x n 2 cos ⁡ x n - 2 x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , vamos usar x 1 = 1 , satisfazendo a condição de x > 0 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - sen ⁡ x 1 - x 1 2 cos ⁡ x 1 - 2 x 1 = 1 - sen ⁡ 1 - 1 2 cos ⁡ 1 - 2 ⋅ 1 ≈ 0 , 8913959953

Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - sen ⁡ x 2 - x 2 2 cos ⁡ x 2 - 2 x 2 =

= 0,8913959953 - sen ⁡ 0,8913959953 - 0,8913959953 2 cos ⁡ 0,8913959953 - 2 ⋅ 0,8913959953 ≈ 0,8 769848448

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - sen ⁡ x 3 - x 3 2 cos ⁡ x 3 - 2 x 3 =

= 0,8769848448 - sen ⁡ 0,8769848448 - 0,8769848448 2 cos ⁡ 0,8769848448 - 2 ⋅ 0,8769848448 ≈ 0,876 7262985

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - sen ⁡ x 4 - x 4 2 cos ⁡ x 4 - 2 x 4 =

= 0,8767262985 - sen ⁡ 0,8767262985 - 0,8767262985 2 cos ⁡ 0,8767262985 - 2 ⋅ 0,8767262985 ≈ 0,8767 262154

Vamos achar x 6 :

x 5 + 1 = x 6 = x 5 - sen ⁡ x 5 - x 5 2 cos ⁡ x 5 - 2 x 5 =

= 0,8767262154 - sen ⁡ 0,8767262154 - 0,8767262154 2 cos ⁡ 0,8767262154 - 2 ⋅ 0,8767262154 ≈ 0,8767262154

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,8767262154 .

Resposta

A raiz é 0,8767262154 .

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