28. Seja f x , y =   x y x 2 + y 2 0 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) s e x , y = ( 0,0 ) calcular (∂f/∂x) e (∂f/∂y) .

Passo 1

Para ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Nesse caso iremos utilizar a regra do quociente.

∂ f ∂ x = x 2 + y 2 y - x y 2 x x 2 + y 2 2

= x 2 y + y 3 - 2 x 2 y x 2 + y 2 2

= y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y = x 2 + y 2 x - x y 2 y x 2 + y 2 2

= x 3 + x y - 2 x y 2 x 2 + y 2 2

= x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Para ( x , y ) = ( 0,0 )

∂ f ∂ x 0,0 = lim ∆ x → 0 ⁡ f 0 + ∆ x , 0 - f 0,0 ∆ x

= l i m ∆ x → 0 ∆ x ⋅ 0 ∆ x 2 + 0 2 - 0 ∆ x = 0

∂ f ∂ y 0,0 =   lim ∆ y → 0 ⁡ f 0,0 + ∆ y - f 0,0 ∆ y = 0

Resposta

∂ f ∂ x =   y 3 - x 2 y x 2 + y 2 2 0 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , x , y = ( 0,0 )

∂ f ∂ y =   x 3 - x y 2 x 2 + y 2 2 0 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) , x , y = ( 0,0 )

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