Nos Exercícios 23-34, encontre ƒx , ƒy e ƒz.

f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais,

Primeiro vamos derivar em x,

f x = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1 2

Vamos usar a regra da cadeia, u = x 2 + y 2 + z 2

∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = ∂ ∂ u u - 1 2 ⋅ ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = - 1 2 u = 3 2 ⋅ 2 x

f x = - x ⋅ u - 3 2

f x = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

Passo 2

Agora em y,

f y = ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2

Resolvendo-se da mesma maneira, a única coisa que vai mudar é que ao invés de 2x teremos 2y,

∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = - 1 2 u = 3 2 ⋅ 2 y

f y = - y ⋅ u - 3 2

f y = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

Passo 3

E por fim, em z, do mesmo jeito,

f z = ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2

∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 = - 1 2 u = 3 2 ⋅ 2 z

f z = - z ⋅ u - 3 2

f z = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2

Bora pro próximo.

Resposta

f x = - x x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 , f y = - y x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 e f z = - z x 2 + y 2 + z 2 - 3 2 .

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