Enunciado

Seja f x , y = x 2 ( y 4 - x 2 ) e considere, para cada v → = h , k , a função g v → t = f h t , k t . Verifique que t = 0 é ponto de máximo local de g v → mas que 0,0 não é ponto de máximo local de f .

Passo 1

A questão fornece uma função de duas variáveis

f x , y = x 2 ( y 4 - x 2 )

Além disso, é definida uma nova função dada por

g t = f h t , k t ,

onde k e h são números (componentes de um vetor). Note que g é uma função de uma variável, enquanto f é de duas!

Temos que mostrar que t = 0 é ponto de máximo local de g , mas que 0,0 não é ponto de máximo local de f .

Passo 2

Note que g pode ser escrita como

g t = h 2 t 2 k 4 t 4 - h 2 t 2 = h 2 k 4 t 6 - h 4 t 4

Como se trata de uma função de uma única variável ( t ), temos que

g ' t = 6 h 2 k 4 t 5 - 4 h 4 t 3

Vemos que t = 0 é ponto crítico de g pois g ' 0 = 0 . Tomando a secunda derivada:

g ' ' t = 30 h 2 k 4 t 4 - 12 h 4 t 2 ⇒ g ' ' 0 = 0

Como a segunda derivada é nula, o teste da segunda derivada é inclusivo para descobrir se t = 0 é ponto de máximo ou não. Então vamos continuar derivando:

g ' ' ' t = 120 h 2 k 4 t 3 - 48 h 4 t ⇒ g ' ' ' 0 = 0

g ' ' ' ' t = 360 h 2 k 4 t 2 - 48 h 4 ⇒ g ' ' ' ' 0 = - 48 h 4 < 0

Para polinômios, se as duas primeiras derivadas se anulam, a primeira derivada não nula determina a concavidade. Como ela é negativa, a concavidade é para baixo, de modo que t = 0 é ponto de máximo local de g .

Passo 3

Agora vamos voltar para f x , y = x 2 y 4 - x 4 . Derivando:

∂ f ∂ x = 2 x y 4 - 4 x 3 ⇒ ∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y = 4 x 2 y 3 ⇒ ∂ f ∂ y 0,0 = 0

Vemos então que ( 0,0 ) é ponto crítico de f . Tomando as segundas derivadas:

∂ 2 f ∂ x 2 = 2 y 4 - 12 x 2 ⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 0,0 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = 12 x 2 y 2 ⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 0,0 = 0

∂ 2 f ∂ x   ∂ y = 8 x y 3 ⇒ ∂ 2 f ∂ x   ∂ y 0,0 = 0

Como todas as derivadas se anulam, nem adianta tentar fazer o teste do hessiano por H = 0 . Mas vamos olhar com carinho para uma coisa:

Se continuarmos derivando:

∂ 3 f ∂ x 3 = - 24 x ⇒ ∂ 4 f ∂ x 4 = - 24 < 0

∂ 3 f ∂ y 3 = 24 x 2 y ⇒ ∂ 4 f ∂ y 4 = 24 x 2 ⇒ ∂ 4 f ∂ y 4 0,0 = 0

Note que a primeira derivada parcial a não se anular é a quarta: com relação a x ela é negativa, com relação a y ela é nula. Como se trata de um polinômio e as primeiras derivadas a não se anularem não concordam, ( 0,0 ) não pode ser ponto de máximo local de f ,

Resposta

Demonstração.

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