Enunciado

Uma curva tem equação y 2 = x 3 . Encontre o comprimento da curva do ponto 1 , - 1 ao ponto 1,1 .

Passo 1

Essa questão tem uma pegadinha. Provavelmente uma primeira coisa que passa na nossa cabeça é fazer:

y 2 = x 3

y = ± x 3

E ai parametrizar:

x = t

y = ± t 3

Mas pera, assim ficamos com dois valores possíveis de y . Complicado parametrizar assim né? Veja bem, se fizermos o contrário:

x 3 = y 2

x = y 2 3

Não teríamos esse problema! Então uma boa parametrização seria:

y = t

x = t 2 3 = t 2 3

E logo:

σ t = t 2 3 , t

Como queremos o comprimento da curva do ponto 1 , - 1 ao ponto 1,1 , basta achar o valor do parâmetro t nesses pontos. No caso, como y t = t , basta olhar pra coordenada y esses pontos pra achar o valor: no caso, t = - 1 até t = 1 .

Passo 2

O comprimento da curva, pela fórmula, será:

L C = ∫ t o t f σ ' t d t

Nossa próxima etapa é importantíssima: montar a expressão de   L C . Começamos então derivando e calculando a norma de σ ' t :

σ ' t = 2 3 t - 1 3 , 1

σ ' t = 2 3 t - 1 3 2 + 1 2 = 4 9 t - 2 3 + 1

L C = ∫ - 1 1 4 9 t - 2 3 + 1 d t

Tem coisa ainda pra fazer aí. Dá uma olhada nisso aqui, seja:

g t = 4 9 t - 2 3 + 1

g - t = 4 9 - t - 2 3 + 1 = 4 9 - 1 - 2 3 t - 2 3 + 1 = 4 9 t - 2 3 + 1

Ou seja, temos que g t = g - t , confirmando que g t é uma função par. Pra funções pares, vale:

L C = ∫ - 1 1 4 9 t - 2 3 + 1 d t = 2 ∫ 0 1 4 9 t - 2 3 + 1 d t

Só que aí temos um outro problema galera: 0 não tá definido! A forma mais certa de calcular esse comprimento é:

L C = 2 ∙ lim a → 0 ⁡ ∫ a 1 4 9 t - 2 3 + 1 d t

Show, vamos partir daqui então.

Passo 3

Vamos por enquanto esquecer os limites de integração, beleza? E olhar só pra integral:

∫ 4 9 t - 2 3 + 1   d t

Pra resolver esse cara vamos ter que ser criativos. Vamos começar com uma substituição simples:

u = t 1 3 → d u = 1 3 t - 2 3   d t

Da substituição simples que escolhemos, tiramos ainda:

d u = 1 3 t - 2 3   d t

d u = 1 3 t 2 3   d t

3 t 2 3   d u =   d t

3 t 1 3   2 d u =   d t

3 u 2   d u =   d t

Podemos ainda manipular:

t - 2 3 = t 1 3 - 2 = u - 2 = 1 u 2

A integral fica:

∫ 4 9 t - 2 3 + 1   d t = ∫ 3 u 2 4 9 u 2 + 1   d u

O que dá pra manipular um pouquinho mais, obtendo:

= ∫ u ∙ 3 u ∙ 4 9 u 2 + 1   d u

= ∫ u ∙ 9 u 2 ∙ 4 9 u 2 + 1   d u

= ∫ u 4 + 9 u 2   d u

Passo 4

Ok, mas falta coisa ainda. Podemos fazer uma outra substituição simples:

v = 4 + 9 u 2 → d v = 18   u   d u → 1 18   d v = u   d u

A integral fica:

∫ u 4 + 9 u 2   d u = ∫ 1 18 v   d v = ∫ 1 18 v 1 2   d v = 1 18 ∙ v 3 2 3 2 = v 3 2 27

Voltando pra variável u :

∫ u 4 + 9 u 2   d u = 4 + 9 u 2 3 2 27

E voltando pra variável t :

∫ 4 9 t - 2 3 + 1   d t = ∫ u 4 + 9 u 2   d u = 4 + 9 u 2 3 2 27

u = t 1 3

∫ 4 9 t - 2 3 + 1   d t = 4 + 9 t 2 3 3 2 27

Passo 5

Agora sim galera, agora vamos olhar pros limites de integração! Temos:

∫ a 1 4 9 t - 2 3 + 1 = 4 + 9 t 2 3 3 2 27 t = a t = 1

∫ a 1 4 9 t - 2 3 + 1 = 13 3 2 27 - 4 + 9 a 2 3 3 2 27

Só que o comprimento vai ser:

L C = 2 ∙ lim a → 0 ⁡ ∫ a 1 4 9 t - 2 3 + 1 d t

L C = 2 ∙ lim a → 0 ⁡ 13 3 2 27 - 4 + 9 a 2 3 3 2 27

L C = 2 ∙ 13 3 2 27 - 4 3 2 27 = 2 27 13 3 2 - 4 3 2

Resposta

L C = 2 27 13 3 2 - 4 3 2       u . c .

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Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:h) r → t = e t ,e - t ,t 2 para t ∈ 0 ,1
Escreva a função comprimento de arco de:a) r → t = s e n t 2 , cos ⁡ t 2 ,2 t
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:b) r → t = 2 t 3,2 t ,6 t 2 ,0 ≤ t ≤ 3
Escreva a função comprimento de arco de:b) r → t = cos ⁡ 2 t , s e n 2 t ,4
Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:h) r → t = - s e n t , cos ⁡ t ,2 para t ∈ 0 ,2 π