Enunciado

Seja f x = x 3 - 4 x .

  1. Encontre a equação da reta secante que passa pelos pontos ( - 2 , f - 2 ) e ( 1 , f 1 ) .
  2. Mostre que há somente um número c no intervalo ( - 2,1 ) que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio para a reta secante em (a).
  3. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( c ,   f c ) .
  4. Use um recurso gráfico computacional para gerar a reta secante de (a) e a tangente de (c) no mesmo sistema de coordenadas e confirme visualmente que as duas são paralelas.

Passo 1

(a) A gente pode lembrar que a equação da reta pode ser dada por:

y 0 - y = m x 0 - x

Sendo que m = y 1 - y o x 1 - x o . Então só precisamos calcular m , e substituir na equação da reta, belezinha?

Passo 2

Vamos escolher ( - 2 , f 2 ) como nosso ponto ( x 0 , y 0 ) , e o outro ponto como ( x 1 , y 1 ) .

Precisamos encontrar os valores de y 0 e y 1 , usando a função do enunciado:

y 0 = f x 0 = f - 2 = 0

y 1 = f x 0 = f 1 = - 3

Agora podemos achar m :

m = - 3 - 0 1 + 2 = - 1

E, pela equação da reta:

0 - y = - 1 - 2 - x ∴ y = - x - 2

Passo 3

(b) Esse é o Teorama do Valor Médio:

f ' c = f b - f a b - a

A gente só precisa confirmar se nossa função é contínua e diferenciável no intervalo [ - 2,1 ] para usar ele. Como ela é um polinômio, isso é verdade. Podemos seguir tranquilos!

O que o enunciado quer é que a gente monte essa equação e descubra que só existe um valor de c , que vai solucionar ela dentro desse intervalo. Vamos lá!

Passo 4

Precisamos calcular a derivada da nosssa função para montarmos f ' ( c ) . Fica assim:

f ' x = 3 x 2 - 4

x = c ∴ f ' c = 3 c - 4

Para montar o outro lado da equação, vamos achar f ( a ) e f ( b ) , substituindo a e b na função que ele deu:

a = - 2 ,   f a = f - 2 = 0

b = 1 ,   f b = f 1 = - 3

Passo 5

Com todas essas informações, podemos montar nossa equação:

f ' c = f b - f a b - a

3 c 2 - 4 = - 3 - 0 1 - - 2

Isolando c :

c = 1 = ± 1

Como estamos no intervalo ( - 2,1 ) (bolinha aberta em 1 ):

c = - 1

Passo 6

(c)Lembrando que a equação da reta tangente é:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Precisamos encontrar y 0 e f ' ( x 0 ) para x 0 = c = - 1 .

Vamos calcular f ' ( - 1 ) :

f ' x = 3 x 2 - 4 ∴ f ' 1 = - 1

E y 0 = f x 0 = f - 1 = 3 . Substituindo na nossa equação da reta:

y - 3 = - 1 x - - 1 ∴ y = - x + 2

Passo 7

(d) Agora é só colocar as duas retas que a gente achou no mesmo gráfico:

Resposta

a   y = - x - 2

b   c = - 1 (prova nos passos)

c   y = - x + 2

d

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