Enunciado

Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura.

e   σ t = e t + e - t ,   e t - e - t ; P = 2 ,   0

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de curvatura e do raio de curvatura. Na seção 1.8 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., o Teorema 1.4 (página 42 ) dessa seção nos dá uma fórmula mais fácil para o cálculo da curvatura k de uma curva C e é dada por:

k t = A t × V t v 3 t

Tal que:

V t = σ ' t é o vetor velocidade;

v t = V t é a velocidade escalar;

A t = σ ' ' t é o vetor aceleração.

Essas definições se encontram na Seção 1.3 no item Definição 1.5 do livro.

Para resolver o numerador, precisamos nos recordar que o produto vetorial entre dois vetores pode ser resolvido através do determinante. Supondo dois vetores u → e v → , o produto vetorial entre eles é:

u → × v → = i j k v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Além disso, considerando ainda um ponto P ∈ C , o raio de curvatura ρ é dado como o inverso da curvatura, ou seja:

ρ t = 1 k t P a r a   s a b e r m o s   o s   r e s u l t a d o s   n o   p o n t o   d a d o ,   t e r e m o s   q u e   s u b s t i t u i r   t nas funções curvatura e raio de curvatura. Mas como determinar essa variável? É bem simples: temos que o vetor σ possui duas coordenadas x e y na forma x ,   y , assim como o ponto dado. Então, basta igualar as coordenadas do vetor com a sua respectiva coordenada do ponto. Para esse exercício, temos:

x v e t o r = e t + e - t = 2 = x p o n t o

Logo:

e t + e - t = 2

O único valor de t que atende a nossa equação é

t = 0

Isso também pode ser verificado pelos elementos y do vetor e do ponto.

Passo 2

Dessa forma, para calcularmos a curvatura através da fórmula dada, precisamos determinar a primeira e segunda derivada. Então, derivando-a, teremos:

σ ' t = e t - e - t ,   e t + e - t

Tal que:

v t = σ ' t = e t - e - t 2 + e t + e - t 2

v t = e t 2 - 2 e t e - t + e - t 2 + e t 2 + 2 e t e - t + e - t 2

Ou seja:

v t = 2 e 2 t + 2 e - 2 t

Derivando novamente:

σ ' ' t = e t + e - t ,   e t - e - t

A partir da equação da curvatura dada, temos que:

k t = e t - e - t ,   e t + e - t × e t + e - t ,   e t - e - t 2 e 2 t + 2 e - 2 t 3

Resolvendo o produto vetorial pelo determinante:

e t - e - t ,   e t + e - t × e t + e - t ,   e t - e - t = i j k e t + e - t e t - e - t 0 e t - e - t e t + e - t 0

e t - e - t ,   e t + e - t × e t + e - t ,   e t - e - t = e t + e - t 2 k - e t - e - t 2 k

Então:

e t - e - t ,   e t + e - t × e t + e - t ,   e t - e - t = 4 k

Esse resultado pode ser denotado como o vetor:

e t - e - t ,   e t + e - t × e t + e - t ,   e t - e - t = 0 ,   0 ,   4

Assim:

k t = 0 ,   0 ,   4 2 e 2 t + 2 e - 2 t 3

Passo 3

Calculando o módulo do vetor do numerador:

k t = 4 2 2 e 2 t + 2 e - 2 t 3 = 4 2 e 2 t + 2 e - 2 t 3

Agora, substituindo o valor de t :

k 0 = 4 2 + 2 3 = 4 4 3

Isso resulta em:

k 0 = 4 4 4 = 1 2

Passo 4

Com o valor da curvatura determinado, sabemos qual é o raio de curvatura. Então:

ρ 0 = 1 k 0 = 1 1 2

Logo:

ρ 0 = 2

Passo 5

Para encontrarmos a equação da curva, podemos fazer o seguinte: usar os componentes x e y de σ e fazer uma manipulação algébrica para determinar uma equação em função dessas componentes. Dessa forma, teremos:

x = e t + e - t e y = e t - e - t

Somando essas duas equações, obtemos:

x + y = 2 e t

Isolando a função exponencial:

x + y 2 = e t

Aplicando o logaritmo neperiano:

ln ⁡ e t = ln ⁡ x + y 2

E a propriedade que diz:

ln ⁡ e u = u

Conseguimos:

t = ln ⁡ x + y 2

Agora, lembrando das identidades trigonométricas:

2 s e n h u = e u - e - u

E:

2 cosh ⁡ u = e u + e - u

As variáveis podem ser reescritas como:

x = 2 cosh ⁡ t

E:

y = 2 s e n h t

Aplicando a razão y / x :

y x = 2 s e n h t 2 cosh ⁡ t = t g h t

Por fim, substituindo o valor de t e isolando y :

y = x t g h ln ⁡ x + y 2

Então, esboçando a curva (em vermelho) e o círculo de curvatura (em azul), iremos obter:

Resposta

k 0 = 2 4

ρ 0 = 2 2

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