Enunciado

Seja f x = 0 se x for um número racional qualquer e f x = 1 se x for um número irracional qualquer. Mostre que f não é integ 0,1 .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O que temos aqui é uma função definida por duas leis de formação:

𝑓 𝑥 = 0 ,   𝑥   =   𝑟 𝑎 𝑐 𝑖 𝑜 𝑛 𝑎 𝑙

𝑓 𝑥 = 1 ,   𝑥   =   𝑖 𝑟 𝑟 𝑎 𝑐 𝑖 𝑜 𝑛 𝑎 𝑙

Para que f fosse integrável em 0,1 o limite do somatório que gera a integral deveria existir. Em outras palavras, deveria existir

∑ i = 1 n f x i Δ x  

Passo 2

Se nós dividirmos o intervalo 0,1

em 𝑛  

, tal que Δ 𝑥 = 1 𝑛

. Quanto maior 𝑛  

se torne, o intervalo 𝑖 𝑛 , 𝑖 + 1 𝑛

sempre terá um número racional e irracional.

Se escolhermos 𝑥 𝑖 ⋅

de forma que ele seja irracional,

∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 ⋅ Δ 𝑥   = ∑ 𝑖 = 1 𝑛 1 ∙ 1 𝑛  

=   1 = 1

Se nós escolhermos 𝑥 𝑖 ⋅

de forma que ele seja racional,

∑ 𝑖 = 1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 ⋅ Δ 𝑥   =

∑ 𝑖 = 1 𝑛 0 ∙ 1 𝑛   =

  0 = 0

Passo 3

Como podemos observar, o limite depende do valor escolhido para 𝑥 𝑖 ⋅

, sendo assim não é possível integrar 𝑓  

Resposta

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