Enunciado

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ 2 d t 3 t 2 + 3

Passo 1

Bom, galera, essa é uma questão que pode parecer a princípio que é uma integral bem simples de polinômio, mas fica ligado: quando aparecer uma parada parecida com essa, com essa soma de um quadrado mais uma constante no denominador, muito provavelmente vamos trabalhar com integral trigonométrica, que é o caso dessa aqui! Ela se encaixa na integral do arco tangente!

∫ d u 1 + u 2 = a r c t g u + C

Passo 2

Tirando as constantes de dentro da nossa integral:

∫ 2 d t 3 t 2 + 3 = 2 3 ∫ d t t 2 + 1

Se ligou? É justamente o que a gente queria!

∫ 2 d t 3 t 2 + 3 = 2 3 a r c t g t + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d t 2 3 a r c t g t + C = d d t 2 3 a r c t g ( t ) + d d t ( C )

Derivando, com o auxílio da tabelinha de derivadas:

d d t 2 3 a r c t g t + C = 2 3 1 1 + t 2 + 0

Arrumando,

d d t 2 3 a r c t g t + C = 2 3 t 2 + 3

Resposta

∫ 2 d t 3 t 2 + 3 = 2 3 a r c t g t + C

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