Enunciado

  1. Se f for contínua em a , b ,   mostre que
  2. ∫ a b   f x d x     ≤ ∫ a b |   f x | d x    

  3. Use o resultado da parte a) para mostrar que

∫ 0 π 2   f x   s e n   x   d x     ≤ ∫ 0 π 2   f x   d x      

Passo 1

Resolvendo o item a)

Aqui queremos analisar a propriedade do modulo da integral.

Como aqui 𝑓   é continua no intervalo 𝑎 , 𝑏 e as funções 𝑓   𝑒   − 𝑓 são contínuas no intervalo 𝑎 , 𝑏

Vamos usar a dica, certo? Pois precisamos manipular as propriedades de modulo para conseguirmos provar o que a alternativa nos pede.

Passo 2

Como

- f x ≤ f x ≤   f x

Passando a integral em todos os termos,

∫ a b - f x   d x     ≤   ∫ a b   f x d x     ≤   ∫ a b   |   f x | d x    

Perceba que

∫ a b - f x   d x     =   -   ∫ a b f x   d x    

Ou seja, temos

- ∫ a b f x   d x   ≤   ∫ a b   f x d x     ≤   ∫ a b   |   f x | d x    

Vamos usar a propriedade, a < b ⇔   - b < a < b . Estamos com o lado direito do ⇔ .   Daí, pondo pro lado esquerdo,

  ∫ a b   f x d x     ≤   ∫ a b   |   f x | d x    

Passo 3

Vamos resolver o item b), que basicamente iremos aplicar a propriedade

Pelo item a),

∫ 0 π 2   f x   s e n   x   d x     ≤   ∫ 0 π 2 |   f x   s e n   x |   d x    

Usando que a ⋅ b = a ⋅ b ,

∫ 0 π 2 |   f x   s e n   x |   d x     =   ∫ 0 π 2   f x ⋅     s e n   x   d x    

E, lembrando que     s e n   x ≤ 1 ,   temos que

∫ 0 π 2   f x   ⋅     s e n   x   d x       ≤     ∫ 0 π 2   f x   d x      

Logo,

∫ 0 π 2   f x   s e n   x   d x     ≤ ∫ 0 π 2   f x   d x      

Resposta

  1. Veja a demonstração
  2. Veja a demonstração
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