Enunciado

Seja y = f x uma função derivável num intervalo aberto I , com 1 ∈ I . Suponha f 1 = 1 e que, para todo x em I , f ' x = x + f x 3 .

a) Mostre que f ' ' x existe para todo x em I .

b) Calcule f ' ' 1 .

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 .

Passo 1

a) A fim de que f ' ' x exista para todo x em I , só temos que mostrar que f ' x é derivável nesse intervalo I .

Como f x é derivável no intervalo I , f x 3 também será.

Assim, f ' x = x + f x 3 será derivável em I , logo f ' ' x existirá para todo x em I .

Passo 2

b) Primeiro, vamos derivar f ' x = x + f x 3 para obter f ' ' x :

f ' ' x = d d x x + f x 3

Pela regra da soma:

f ' ' x = x ' + d d x f x 3

f ' ' x = 1 + d d x f x 3

Agora usamos a regra da cadeia:

f ' ' x = 1 + 3 f x 2 d d x f x

f ' ' x = 1 + 3 f x 2 f ' x

Passo 3

Mas sabemos que f ' x = x + f x 3 , então substituímos isso em f ' ' x :

f ' ' x = 1 + 3 f x 2 f ' x

f ' ' x = 1 + 3 f x 2 x + f x 3

Agora só falta substituir x = 1 para calcular f ' ' 1 :

f ' ' 1 = 1 + 3 f 1 2 1 + f 1 3

Lembre-se de que f 1 = 1 , logo:

f ' ' 1 = 1 + 3 1 2 1 + 1 3

f ' ' 1 = 7

Passo 4

c) Vamos lembrar da fórmula da equação da reta tangente a f no ponto x = a :

y - f a = f ' a x - a

Então, substituímos a = 1 :

y - f 1 = f ' 1 x - a

Já sabemos que f 1 = 1 , só falta calcular f ' 1 :

f ' x = x + f x 3

f ' 1 = 1 + f 1 3 = 1 + 1 3 = 2

Logo, a equação da reta será:

y - 1 = 2 x - 1

Resposta

b) f ' ' 1 = 7

c) y - 1 = 2 x - 1

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