49. Seja

g(x) = (x^2 + x - 6) / |x - 2|

  1. (i) . lim x → 2 + ⁡ g ( x ) (ii) . lim x → 2 - ⁡ g ( x )

  2. lim x → 2 ⁡ g ( x ) existe?
  3. Esboce o gráfico de g .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo, Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade de limites.

A atividade nos pede para resolvermos alguns limites, sendo que g x possui um modulo no seu denominador. Isso faz com que precisemos analisar o sinal da função do denominador pois a depender do intervalo em que formos calcular o limite, teremos a função do denominador ou seu oposto.

E pra relembrar os limites laterais:

  • em lim x → 2 + ⁡ g ( x ) estamos nos aproximando de 2 pela direita, ou seja, por valores maiores que 2
  • em lim x → 2 - ⁡ g ( x ) estamos nos aproximando de 2 pela esquerda, ou seja, por valores menores que 2

Passo 2

Para o item (a), temos o seguinte:

lim x → 2 + ⁡ g ( x )

Como estamos vindo da direita, estamos no caso em que x > 2 . Então o x - 2 sai do modulo com sinal positivo. Pois no estudo dos sinais de x - 2   =   x - 2   s e   x - 2 > 0 .

Assim,

lim x → 2 + ⁡ g ( x ) = l i m x → 2 + x 2 + x - 6 ( x - 2 )

Para x = 2 :

l i m x → 2 + x 2 + x - 6 x - 2 = 4 + 2 - 6 0 = 0 0

Opaa, deu uma indeterminação. Então vamos ter que arrumar as coisas pra tirar essa indeterminação!

g x = x 2 + x - 6 ( x - 2 )

Olhando para o numerador:

x 2 + x - 6 = ( x - 2 ) ( x + 3 )

Logo,

l i m x → 2 + x 2 + x - 6 x - 2 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) x - 2

Simplificando, temos:

l i m x → 2 + x 2 + x - 6 x - 2 = x + 3

Para x = 2 :

l i m x → 2 + x 2 + x - 6 x - 2 = 2 + 3 = 5

Passo 3

Agora vamos olhar o caso lim x → 2 - ⁡ g ( x ) . Como estamos vindo pela esquerda, isto é, x < 2 então o termo x - 2 sai do modulo com sinal negativo. Pois x - 2   =   - x + 2   s e   x - 2 < 0

Logo,

g x = x 2 + x - 6 - ( x - 2 )

Agora vamos usar a fatoração lá do Passo 2 para não cairmos novamente na indeterminação. Assim,

g x = x - 2 ⋅ x + 3 - ( x - 2 )

Simplificando:

g x = - ( x + 3 )

Portanto,

lim x → 2 - ⁡ g x =   lim x → 2 - ⁡ - x + 3

Para x = 2 :

lim x → 2 - ⁡ g x = - 5

Passo 4

(b) Para existir lim x → 2 ⁡ g ( x ) , os limites laterais precisam ser iguais. Como os limites laterais são diferentes, lim x → 2 ⁡ g ( x ) não existe!

lim x → 2 + ⁡ g x = 5

lim x → 2 - ⁡ g x = - 5

Passo 5

(c) Agora é só esboçarmos o gráfico, vamos utilizar o GeoGebra para isso:

x < 2 :

g x = ( x + 3 )

x > 2 :

g x = - ( x + 3 )

Logo,

Resposta

  1. lim x → 2 + ⁡ g x = 5

    lim x → 2 - ⁡ g x = - 5

  2. Não existe.

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