Enunciado

Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0 < x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]

Passo 1

Para dizermos que f é integrável em 0,1 ou seja, existe ∫ 0 1 f x d x , se existir o limite da soma de R i e m a n n que é dado por:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Passo 2

Como

∑ i = 1 n f 1 n 1 n   = 1 n   ∑ i = 1 n f i n   = 1 n ∑ i = 1 n n i = ∑ i = 1 n 1 i = 1 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

Como n vai para o infinito, temos uma soma de infinitos termos maiores que zero, que não converge para nenhum valor definido, ou seja, a integral não existe e por tanto, f não é integrável em 0,1 .

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Encontre o valor de: a )∑ k = 1 n f x k *Δ x k b ) max ⁡ Δ x k f x = cos ⁡ x ; a = 0 ; b = 2 π ; n = 4 Δ x 1 = π 2 ; Δ x 2 = 3 π 4 ; Δ x 3 = π 4 ; Δ x 4 = π 4 x 1 * = π 4 ,x 2 * = π ; x 3 * = 3 π 2 ;
Encontre o valor de: a )∑ k = 1 n f x k *Δ x k b ) max ⁡ Δ x k f x = x 3 ; a = - 3 ; b = 3 ; n = 4 Δ x 1 = 2 ; Δ x 2 = 1 ; Δ x 3 = 1 ; Δ x 4 = 2 x 1 * = - 2 ,x 2 * = 0 ; x 3 * = 0 ; x 4 * = 2
Preencha as lacunas: 1 + 3 + 5 + … + 2 n - 1 = ∑ k = 1 n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Use a parte (a) para provar que a soma dos n primeiros inteiros ímpares consecutivos é um quadrado perfeito.
Expresse ∑ k = 4 18 k ( k - 3 ) Na notação com somatório, com k = 0 como limite inferior do somatório k = 5 como limite inferior do somatório
Em cada parte, encontre o limite interpretando-o como o limite de uma soma de Riemann, na qual o intervalo [ 0 ,1 ] está dividido em n subintervalos de mesmo comprimento. lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 + 3 + … + n