Enunciado

Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade.

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

Passo 1

Sabemos que em 0 ≤ x ≤ π 2 o seno respeita 0 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 .

Se multiplicarmos a última inequação por x de modo que se x ≥ 0 , não temos problema com o sinal, obtemos:

0 ≤ x sen ⁡ x ≤ x

Passo 2

Então se x sen ⁡ x ≤ x , podemos aplicar a integração:

x sen ⁡ x ≤ x

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ ∫ 0 π 2 x   d x

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 π 2 1 2

∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8

E assim, demonstramos que ∫ 0 π 2 x sen ⁡ x   d x ≤ π 2 8 .

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Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: bac (Teorema dado no livro).
Prove que o Teorema 5.6.7 é válido para a ordenação dada: ac = b (Teorema dado no livro).
Mostre que se f for contínua em [ - 1,2 ] , então: ∫ - 1 2 f x d x + ∫ 2 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 - 1 f x d x = 0
Use o Teorema 5.6.8 para determinar qual dos símbolos ≤ ou ≥ deve ser inserido onde indicado. ∫ 0 π / 4 cos ⁡ xd x_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ∫ 0 π / 4 sen ⁡ xd x (Teorema dado no livro)
Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada: ∫ 3 7 2 xd x (Teorema dado no livro)