Enunciado

6- Seja f (x , y) = {[[(|x| y)/(sqrt(x^2 + y^2)) , (x , y) != ( 0,0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]])

Mostre que:

a) f ( x , y ) é contínua em (0 , 0) .

Passo 1

Amíguíneos, para fazermos essa questão nós só temos que lembrar de uma coisa:

underset((x , y) -> ( 0 , 0 ))(lim) f (x , y) = f ( 0,0 )

Ok?

Então,bora começar esse exercício!

Passo 2

Nós temos:

underset((x , y) -> ( 0 , 0 ))(l i m) (|x| y)/(sqrt(x^2 + y^2))

Cara, essa função é meio traçoeira porque diferente de muitas ele tem esse módulo só pra complicar as nossas vidas. Então, vamos resolver isso com calma.

Olha só, repara que:

sqrt(x^2 + y^2) >= sqrt(x^2)

E nós sabemos que:

sqrt(x^2) = |x|

Portanto,

sqrt(x^2 + y^2) >= |x|

Tranquilo até aqui ????

Se nós colocarmos o módulo em f (x , y) , teremos:

|f ( x , y )| = (|x| |y|)/(sqrt(x^2 + y^2))

Mas porque não colocamos o módulo fora da raiz ??? Lembra que a raiz quadrada só nos dá valores positivos, então o módulo não se faz necessário. Ok ?

Nós também podemos dizer que:

(|x| |y|)/(sqrt(x^2 + y^2)) <= (|x| |y|)/(sqrt(x^2))

Mas de onde saiu essa bagaça ???

Cara, lembra que lá em cima nós reparamos que:

sqrt(x^2 + y^2) >= sqrt(x^2)

O quer dizer que:

(1)/(sqrt(x^2 + y^2)) <= (1)/(sqrt(x^2))

Né?!

Passo 3

Como

sqrt(x^2) = |x|

Assim,

(|x| |y|)/(sqrt(x^2 + y^2)) <= |y|

Mas, (|x| |y|)/(sqrt(x^2 + y^2)) é a nossa função |f ( x , y )| ,portanto, pela propriedade do módulo:

- |y| <= f ( x , y ) <= |y|

Quando y -> 0 , f ( x , y ) -> 0 , fechou ?!

Passo 4

Pela definição, f (0,0) = 0 , portanto,

underset((x , y) -> ( 0 , 0 ))(lim) f (x , y) = f (0,0) = 0

Isso quer dizer que a nossa função é contínua.

Resposta

underset((x , y) -> ( 0 , 0 ))(lim) f (x , y) = f ( 0,0 ) = 0

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