6- Seja f x ,   y = x y x 2 + y 2 ,   x ,   y ≠ ( 0,0 ) 0 ,   x ,   y = ( 0,0 )

Mostre que:

b)f(x, y) não é diferenciável em (0, 0)

Passo 1

Amíguíneos, para fazermos essa questão nós vamos usar a definição de diferenciabilidade, que é essa aqui:

lim x ,  y → ( a ,  b ) ⁡ r x ,   y x ,   y - a ,   b = 0

Ok?

Então,bora começar esse exercício!

Passo 2

Nós temos:

lim x ,  y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 2 + y 2 x 2 + y 2 = l i m x ,   y → ( 0,0 ) x y x 2 + y 2

Cara, se a gente aproximar ( 0 ,   0 ) por pontos sobre a reta y = x :

l i m x ,   y → 0,0 x x x 2 + x 2

Dessa forma, podemos considerar:

l i m x → 0 x x x 2 + x 2

Mas pera aêêê !!! Nós temos um módulo no x , então temos que abrir esse limite em dois casos:

x < 0 :

l i m x → 0 - x x x 2 + x 2 = l i m x → 0 - x 2 2 x 2 = - 1 2

x > 0 :

l i m x → 0 x x x 2 + x 2 = l i m x → 0 x 2 2 x 2 = 1 2

Como nossos limites deram diferentes, quer dizer que pelo caminho que nós tomamos o nosso limite não existe. Isso quer dizer que a função não é diferenciável no ( 0 ,   0 ) , já que pela definição o nosso limite deveria dar zero.

Resposta

Demonstração acima.

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