Enunciado

6- Seja f (x , y) = {[[(|x| y)/(sqrt(x^2 + y^2)) , (x , y) != ( 0,0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]])

Mostre que:

b) f ( x , y ) não é diferenciável em (0 , 0) .

Passo 1

Amíguíneos, para fazermos essa questão nós vamos usar a definição de diferenciabilidade, que é essa aqui:

underset((x , y) -> ( a , b ))(lim) (r (x , y))/(‖(x , y) - (a , b)‖) = 0

Ok?

Então,bora começar esse exercício!

Passo 2

Nós temos:

underset((x , y) -> ( 0,0 ))(lim) ((|x| y)/(sqrt(x^2 + y^2)))/(sqrt(x^2 + y^2)) = underset((x , y) -> ( 0,0 ))(l i m) (|x| y)/(x^2 + y^2)

Cara, se a gente aproximar ( 0 , 0 ) por pontos sobre a reta y = x :

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (|x| x)/(x^2 + x^2)

Dessa forma, podemos considerar:

underset(x -> 0)(l i m) (|x| x)/(x^2 + x^2)

Mas pera aêêê !!! Nós temos um módulo no x , então temos que abrir esse limite em dois casos:

x < 0 :

underset(x -> 0)(l i m) (- x x)/(x^2 + x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (- x^2)/(2 x^2) = - (1)/(2)

x > 0 :

underset(x -> 0)(l i m) (x x)/(x^2 + x^2) = underset(x -> 0)(l i m) (x^2)/(2 x^2) = (1)/(2)

Como nossos limites deram diferentes, quer dizer que pelo caminho que nós tomamos o nosso limite não existe. Isso quer dizer que a função não é diferenciável no ( 0 , 0 ) , já que pela definição o nosso limite deveria dar zero.

Resposta

Demonstração acima.

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7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:c)A direção na qual a taxa de variação f em P 0 é máxima.
Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:4- f x ,y ,z = s e nx y + cos ⁡( y z ) , P 0 = 1,0 ,- 1 ,u = ( - 1 ,2 ,2 )
5- Sejam f x ,y = x 3 x 2 + y 2 , x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 ) e u = 1 ,1 . c)Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes .
7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:a)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor 1 ,1 .
9-Considerando as superfícies: S 1 de equação x 2 + y ~ 2 + z - 2 2 = 4 , 2 ≤ z ≤ 4 , S 2 de equação z = 3 - x 2 2 - y 2 4 , 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 12 e S 3 de equação z = - 6 + 3 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 12