Enunciado

7- Considerando a função f x ,   y = x 2 + y 2 - 2 y   em P 0 = ( 2 ,   2 ) . Determine:

c)A direção na qual a taxa de variação f em P 0 é máxima.

Passo 1

Gente, nós temos a seguintes derivadas parciais:

∂ f ∂ x 2 ,   2 = 2 x = 4

∂ f ∂ y 2 ,   2 = 2 y - 2 = 2  

O que nós dá:

∇ f 2 ,   2 = ( 4 ,   2 )

Cara, como f é diferenciável em P 0 = ( 2,2 ) e ∇ f P 0 = ( 4 ,   2 ) ≠ 0 , o teorema 3.7 garante que a direção na qual a taxa de variação de f em P 0 é máxima é quando u tem a direção e o sentido do vetor ∇ f P 0 .

Como o nosso vetor não é unitário, vamos dividi-lo pela sua norma:

∇ f ( P 0 ) = 4 2 + 2 2 = 2 5

Assim,

4 ,   2 × 1 2 5 = 2 5 , 1 5

Fim!

Resposta

2 5 , 1 5

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