Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.3 - Ex. 3
Seja onde é a função cujo gráfico é mostrado.
(a) Calcule , , , e
(b) Em que intervalos está crescendo?
(c) Onde tem um valor máximo?
(d) Faça um esboço do gráfico de .
Passo 1
Opa, bora pra mais uma questão?! O enunciado nos da uma função geral:
E o seu gráfico :
E pede várias coisas pra gente em cima dessas informações! Mas vamos por partes, a primeira coisa que devemos calcular é: , , , e .
Como não conhecemos iremos usar o gráfico considerando que o módulo de uma integral é igual a área sobre a sua curva! Começando com
Aqui não tem erro, os limites de integração são iguais então a integral é nula. Entre e temos um retângulo, portanto:
Para temos:
Entre e temos uma junção de retângulo com triângulo, então
Portanto:
Para temos:
Entre e temos um triângulo, assim:
Para , temos:
Podemos interpretar a região entre e como um trapézio, para calcular sua área fazemos:
Onde e são a área da base maior, menor e altura respectivamente, assim:
Como essa área esta na parte negativa de , temos então:
Passo 2
A letra (b) pergunta em que intervalos está crescendo! Vamos trazer o gráfico pra pertinho da gente:
Como estamos ampliando a área positiva de até então a função está crescendo em .
Passo 3
A letra (c) pergunta onde tem um valor máximo, lembrando que é uma integral:
De até ela sempre cresce e depois começa a decrescer. Dessa forma o valor máximo se da em .
Passo 4
Pra acabar, precisamos fazer um esboço do gráfico de , para isso vamos pegar os valores calculados na letra (a) e calcular , e .
e
Esboçando a curva:
Resposta
(a) 0, , , , .
(b) A função está crescendo até .
(c) é o máximo de .
(d) Esboço da curva.