Enunciado

Seja g x = ∫ 0 x f t   d t onde f é a função cujo gráfico é mostrado.

(a) Calcule g 0 , g 1 , g 2 , g 3 e g 6 .

(b) Em que intervalos g está crescendo?

(c) Onde g tem um valor máximo?

(d) Faça um esboço do gráfico de g .

Passo 1

Opa, bora pra mais uma questão?! O enunciado nos da uma função geral:

g x = ∫ 0 x f t   d t

E o seu gráfico f :

E pede várias coisas pra gente em cima dessas informações! Mas vamos por partes, a primeira coisa que devemos calcular é: g 0 , g 1 , g 2 , g 3 e g 6 .

Como não conhecemos f ( t ) iremos usar o gráfico considerando que o módulo de uma integral é igual a área sobre a sua curva! Começando com g ( 0 )

g 0 = ∫ 0 0 f t   d t = 0

Aqui não tem erro, os limites de integração são iguais então a integral é nula. Entre 0 e 1 temos um retângulo, portanto:

g 1 = 1 × 2 = 2

Para g ( 2 ) temos:

g 2 = ∫ 0 2 f t   d t = ∫ 0 1 f t   d t + ∫ 1 2 f t   d t

Entre 1 e 2 temos uma junção de retângulo com triângulo, então

∫ 1 2 f t   d t = 1 × 2 + 1 × 2 2 = 3

Portanto:

g 2 = ∫ 0 2 f t   d t = 2 + 3 = 5

Para g ( 3 ) temos:

g 3 = ∫ 0 3 f t   d t = ∫ 0 2 f t   d t + ∫ 2 3 f t   d t

Entre 2 e 3 temos um triângulo, assim:

∫ 2 3 f t   d t = 1 × 4 2 = 2

g 3 = ∫ 0 3 f t   d t = 5 + 2 = 7

Para g ( 6 ) , temos:

g 6 = ∫ 0 6 f t   d t = ∫ 0 3 f t   d t + ∫ 3 6 f t   d t

Podemos interpretar a região entre x = 6 e x = 3 como um trapézio, para calcular sua área fazemos:

A = B + b h 2

Onde B ,   b e h são a área da base maior, menor e altura respectivamente, assim:

A = 3 + 1 2 2 = 4

Como essa área esta na parte negativa de y , temos então:

∫ 3 6 f t   d t = - 4

g 6 = ∫ 0 6 f t   d t = 7 - 4 = 3

Passo 2

A letra (b) pergunta em que intervalos g está crescendo! Vamos trazer o gráfico pra pertinho da gente:

Como estamos ampliando a área positiva de x = 0 até  x = 3 então a função está crescendo em 0 ≤ x ≤ 3 .

Passo 3

A letra (c) pergunta onde g tem um valor máximo, lembrando que g ( x ) é uma integral:

g x = ∫ 0 x f t   d t

De x = 0 até  x = 3 ela sempre cresce e depois começa a decrescer. Dessa forma o valor máximo se da em g ( 3 ) .

Passo 4

Pra acabar, precisamos fazer um esboço do gráfico de g , para isso vamos pegar os valores calculados na letra (a) e calcular g ( 4 ) , g 5 e g ( 7 ) .

g ( 4 ) e g ( 5 )

g 4 = g 3 + - 1 × 1 2 = 7 - 1 2 = 13 2

g 5 = g 4 + - 2 × 2 2 = 13 2 - 2 = 9 2

g 7 = g 6 + - 1 × 2 2 = 3 - 1 = 2

Esboçando a curva:

Resposta

(a) g 0 = 0, g 1 = 2 , g 2 = 5 , g 3 = 7 , g 6 = 3 .

(b) A função está crescendo até x = 3 .

(c) x = 3 é o máximo de g .

(d) Esboço da curva.

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