Enunciado

As superfícies planas mostradas estão imersas verticalmente em água. Encontre a força do fluido sobre cada superfície.

Passo 1

Como temos uma placa submersa na vertical, podemos usar essa relação:

F = ∫ a b ρ h x w ( x ) d x

Onde ρ é o peso específico da água. Precisamos usar o que está na nossa tabelinha e está nas mesmas unidades do enunciado:

ρ = 62,4   l b / p é 3

E w ( x ) é a largura da placa e h ( x ) a profundidade de cada ponto x . (sendo a e b os limites da placa nessa profundidade).

E sendo o eixo x , um eixo vertical para baixo, com a origem ( x = 0 ) na superfície do líquido.

Vamos começar!

Passo 2

Para achar w ( x ) , vamos ter que usar nossa esperteza. Olha essa figura:

Podemos usar semelhança de triângulos e escrever que:

w x 4 = ( h - x ) h ∴ w x = 4 h - x h

Onde h é altura desse triângulo, que é equilátero, então podemos escrever:

h = 4 3 2

w x = 2 3 2 3 - x

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de x . Então, podemos escrever:

h x = x

E a placa começa em a = x = 0 e termina em b = x = 2 3 .

Com tudo isso, nossa integral fica assim:

F = ∫ 0 2 3 62,4 ⋅ x ⋅ 2 3 2 3 - x d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral:

F = 124,8 3 ∫ 0 2 3 2 3   x - x 2 d x = 124,8 3 3 ⋅ 2 3 2 - 2 3 3 3

F = 499,2   l b

Resposta

F = 499,2   l b

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