Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 42
Seja a parte da esfera que está acima do plano . Se tiver densidade constante , encontre o centro de massa e o momento de inércia em torno do eixo .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular o centro de massa, devemos calcular integrais: e . Vamos por partes?
Passo 2
Por simetria, podemos dizer que , pois é um hemisfério. Só os resta calcular e . Começando por m:
O vetor normal vai ser dado por:
Onde é a superfície parametrizada. Vamos calcular?
Como temos que , então uma parametrização possível é:
Assim o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
E o módulo é:
Passo 3
Legal! O próximo passo é determinar a área a ser integrada. A projeção do cone no plano é uma série de círculos com raios que variam entre e , pois . Então a região pode ser dada, em coordenadas polares da seguinte forma:
Pronto, agora é só jogar na integral!
Passo 4
Substituindo os valores do integrando e o diferencial de área temos:
E também:
Então o valor de é:
E então podemos calcular o valor de :
Então o centro de massa vai ser:
O que faz sentido ser no meio né? =D
Passo 5
Agora vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . Sabemos que a expressão para o momento de inércia é:
Como a densidade é constante, ela pode sair da integral. E em coordenadas polares , então temos:
Simplificando temos:
Resposta
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