Enunciado

Seja S a parte da esfera x 2 + y ² + z ² = 25 que está acima do plano z = 4 . Se S tiver densidade constante k , encontre ( a ) o centro de massa e ( b ) o momento de inércia em torno do eixo z .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular o centro de massa, devemos calcular 4 integrais: M x z , M y z ,   M x y e m . Vamos por partes?

Passo 2

Por simetria, podemos dizer que M y z = M x z = 0 , pois é um hemisfério. Só os resta calcular M x y e m . Começando por m:

m = ∬ S k d S = ∬ S k | r → x × r → y | d A

O vetor normal vai ser dado por:

n → = | r → x × r → y |

Onde r → é a superfície parametrizada. Vamos calcular?

Como temos que z = x 2 + y 2 , então uma parametrização possível é:

x = x y = y z = x 2 + y 2

Assim o vetor r → é:

r → = x i → + y j → + x 2 + y 2 k →

E as derivadas parciais r → x e r → y são:

r → x = 1 i → + x x 2 + y 2 k →

r → y = 1 j → + y x 2 + y 2 k →

E o produto vetorial entre eles é:

r → x × r → y = i → j → k → 1 0 x x 2 + y 2 0 1 y x 2 + y 2 = - x x 2 + y 2 i → - y x 2 + y 2 j → - k →

E o módulo é:

r → x × r → y = - x x 2 + y 2 2 + - x x 2 + y 2 2 + - 1 2 = x 2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) + 1 = 2

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar a área a ser integrada. A projeção do cone no plano x y é uma série de círculos com raios que variam entre 4 e 5 , pois 4 ≤ z ≤ 5 . Então a região pode ser dada, em coordenadas polares da seguinte forma:

4 ≤ r ≤ 5 0 ≤ θ ≤ 2 π   d A = r . d r . d θ

Pronto, agora é só jogar na integral!

Passo 4

Substituindo os valores do integrando e o diferencial de área temos:

m = k 2 ∫ 0 2 π ∫ 4 5 r . d r . d θ = k 2 ∫ 0 2 π r 2 2 4 5 d θ = k 2 2 5 2 - 4 2 ∫ 0 2 π d θ = 9 k 2 2 . 2 π = 9 k π 2    

E também:

M x z = ∬ S z k d S m

Então o valor de ∬ S z k d S é:

∬ S z k d S = 2 k ∫ 0 2 π ∫ 4 5 r . r . d r . d θ = 2 k . 2 π ∫ 4 5 r 2 d r = 2 2 π k . r 3 3 4 5 = 2 . 2 π k 5 3 3 - 4 3 3 = 122 π k 2 3

E então podemos calcular o valor de M x z :

M x z = 122 π k 2 3 9 k π 2   = 122 27 ≅ 4,5

Então o centro de massa vai ser:

x - , y - , z - = 0,0 , 122 27

O que faz sentido ser no meio né? =D

Passo 5

Agora vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z . Sabemos que a expressão para o momento de inércia é:

I z = ∬ S ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d S

Como a densidade é constante, ela pode sair da integral. E em coordenadas polares x 2 + y 2 = r 2 , então temos:

I z = k 2 ∫ 0 2 π ∫ 4 5 r 2 r . d r . d θ = k 2 ∫ 0 2 π ∫ 4 5 r 3 d r d θ = k 2 ∫ 0 2 π r 4 4 4 5 d θ = k 2 5 4 - 4 4 4 . 2 π

Simplificando temos:

I z = 369 k 2 π 2

Resposta

( a ) x - , y - , z - = 0,0 , 122 27

( b ) I z = 369 k 2 π 2

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Determine o centro de massa do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0 , se ele tiver densidade constante.
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Dê uma expressão integral para o momento de inércia I z em torno do eixo z de uma folha fina no formato da suerfície S , se a função densidade é ρ .Determine o momento de inércia em torno do eixo z do
38- A superfície cônica z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ a tem densidade constante k . Determine a ) o centro de massa e b ) o momento de inércia em torno do eixo z .