Enunciado

Seja P ( x ) um polinômio de grau n . Prove:

α   é   r a i z   d e   P x ⇔ P x   é   d i v i s í v e l   p o r   x - α .

Sugestão: Dividindo-se P ( x ) por x - α , obtém-se um quociente Q ( x ) e um resto R , R constante, tal que P x = x - α Q x + R .

Passo 1

Fala, galera. Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente provar que α é raiz de P ( x ) , o que equivale a dizer que P ( x ) é divisível por ( a - a ) . Mas quando é que um número é dito divisível por outro? Quando o resto da divisão é igual a zero.

É isso que nós vamos entender nessa questão para conseguir provar que a divisão de P ( x ) por ( x - a ) nos fornece um quociente Q ( x ) , que é uma função, e um resto R , que é uma constante e, nesse caso, igual a zero.

Vamos lá!

Passo 2

Pra começo de conversa, vamos conversar sobre o que significa dizer que uma coisa é divisível por outra. Vamos com um exemplo! Se calculamos 12 ÷ 4 , temos,

Repara que o nosso resto é zero, ou seja, 12 é divisível por 4. Podemos escrever essa conta como uma multiplicação, fica assim:

D i v i d e n d o = D i v i s o r × Q u o c i e n t e + R e s t o

12 = 4 × 3 + 0

E se o resto for diferente de zero? Neste caso, um número não é divisível por outro. Por exemplo, 13 não é divisível por 4 :

Escrevendo como uma multiplicação, temos:

D i v i d e n d o = D i v i s o r × Q u o c i e n t e + R e s t o

13 = 4 × 3 + 1

Vemos então que, pra dizermos que uma coisa é divisível pela outra, o resto da divisão tem que ser zero, como vimos no passo 1 .

A ideia pra funções é a mesma da ideia para números. Então fica assim:

Escrevendo como multiplicação, ficamos com:

P x = x - α × Q x + R

Então, temos que provar que R = 0 .

Passo 3

Para provar que R = 0 , temos que buscar um valor para substituir em x , onde a gente saiba o resultado. Mas lembra que o enunciado mencionou que α é raíz de P ( x ) , ou seja,

P α = 0

Agora vamos substituir na expressão que encontramos,

P x = x - α × Q x + R

P a = a - α × Q a + R

0 = 0 × Q x + R

Como todo número multiplicado por zero é zero, temos:

0 = 0 + R

R = 0

Opa, olha só no que chegamos: o resto R da nossa divisão é igual a 0 quando α é raíz do polinômio. E tá na mão! Provamos que o resto da nossa divisão é zero!

Resposta

R = 0

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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