Enunciado

Encontre a derivada da função usando a definição da derivada. Declare o domínio da função e o domínio de sua derivada.

f x = m x + b

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a derivadada função f x usando a definição de derivada.

A função dada é:

f x = m x + b

E vale lembrar que a definição da derivada é assim:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Nessa questão queremos encontrar o domínio da função f ( x ) que é uma função de primeiro grau (função reta). Ela não tem restrições no domínio, qualquer valor de   x ali é válido. E também o domínio de sua derivada,mas para isso precisamos encontra-la primeiro.

Passo 2

Beleza, a nossa função é:

f x = m x + b

E temos que:

f x + h = m x + h + b

Vamos botar ela na definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ m x + h + b - ( m x + b ) h

Passo 3

Show de bola, a gente só continua calculando esse limite:

lim h → 0 ⁡ m x + h + b - m x + b h

→ lim h → 0 ⁡ m x + m h + b - m x - b h

→ lim h → 0 ⁡ m h h → lim h → 0 ⁡ m 1 = m

Então:

f ' x = m

Só isso, fácil né? E treinando vai ficando cada vez mais fácil.

Passo 4

Por fim, vamos checar o domínio dessa função e da derivada dela.

A função é uma função de primeiro grau que não possui restrições no domínio e a sua derivada é uma constante, isso é, qualquer valor de x que você colocar, a imagem vai ser m , então não importa o x , de forma que qualquer x é valido.

É só a gente ver que qualquer número real que entrar nas funções vai ter uma imagem real, então:

f → R

f ' → R

Resposta

f ' x = m

f → R

f ' → R

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Calcule f^' (x) onde f (x) é igual ax^2 + 3 x tg x
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(x + 1)/(x sen x)
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a(cos x)/(x^2 + 1)
Seja f x = x 3 + 3 x .Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 .Estude o sinal de f ' x .Esboce o gráfico de f .
Calcule f^' (x) onde f (x) é igual ax^2 tg x