Enunciado

Uma partícula se move com s = f t ,   t ≥ 0 :

f t = 9 t t 2 + 9

  1. Encontre a velocidade
  2. Encontre a velocidade para t = 1
  3. Quando a partícula está em repouso?
  4. Quando a particula se move na direção positiva?
  5. Qual a distância percorrida em 6 segundos?
  6. Desenhe o diagrama que mostre a movimentação da partícula
  7. Ache a função da aceleração e depois a aceleração depois de 1 segundo
  8. Faça o gráfico da velocidade, posição e aceleração
  9. Quando a partícula está acelerando? E desacelerando?

Passo 1

  1. A velocidade é a derivada da posição:
  2. f ' t = 9 t 2 + 9 - 9 t 2 t t 2 + 9 2 = 81 - 9 t 2 t 2 + 9 2

  3. Basta substituir o t por 1:
  4. f ' 1 = 0,72

    Passo 2

  5. Basta igualar o f ' ( t )   a 0:
  6. 9 t 2 + 81 = 18 t 2

    t = 3

    A partícula está em repouso quando:

    t = 3

  7. Temos que ver o intervalo onde a velocidade é positiva. Sabemos que o cosseno será positivo quando 0 < t < 3 .
  8. Basta aplicar 6 na equação da posição:
  9. f 6 = 1,058

    Passo 3

  10. Basta derivar a velocidade e substituir o valor:
  11. f ' ' t = 18 t t 2 + 9 2 - 81 - 9 t 2 2 t 2 + 9 1 2 t t 2 + 9 4

    f ' ' 1 = - 0,108

  12. Em verde temos a velocidade, em azul a posição e em laranja a aceleração.

  13. Para a partícula acelerar, a aceleração deve ter o mesmo sinal da velocidade. Podemos ver pelo gráfico, que a partícula acelera quando t ≤ - 3   e - 2 < t < 0 .   Ela desacelera quando t > 2,5   e   0 < t < 2,5 .

Resposta

  1. f ' t = 81 - 9 t 2 t 2 + 9 2
  2. f ' 1 = 0,72
  3. t = 3
  4. Temos que ver o intervalo onde a velocidade é positiva. Sabemos que o cosseno será positivo quando 0 < t < 3 .
  5. f 6 = 1,058
  6. f ' ' 1 = - 0,108
  7. Para a partícula acelerar, a aceleração deve ter o mesmo sinal da velocidade. Podemos ver pelo gráfico, que a partícula acelera quando t ≤ - 3   e - 2 < t < 0 .   Ela desacelera quando t > 2,5   e   0 < t < 2,5 .
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