Seja D a região delimitada abaixo pelo plano z = 0 , acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 e dos lados pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que fornecem o volume de D, utilizando as seguintes ordens de integração.

  1. d z   d r   d θ
  2. d r   d z   d θ
  3. d θ   d z   d r

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Fazendo um esboço da imagem das funções, teremos:

E por aqui já temos todas informações necessárias ara achar nossas respostas

Passo 2

Vemos que a giração de θ é por todo o espaço, logo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Para o raio, temos x 2 + y 2 = 1 , mas sabemos das coordenadas cilíndricas que r 2 = x 2 + y 2 de forma que:

0 ≤ r ≤ 1

Isso para a região dentro do cilindro. A partir do topo do cilindro, o raio tem tamanho diferente. Analisando a expressão para a esfera no topo do cilindro temo:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Como sabemos, x 2 + y 2 = r 2 , e teremos:

r 2 + z 2 = 4

Ou seja:

r = ± 4 - z 2

Na região dentro do cilindro, vale:

0 ≤ r ≤ 1

Agora, para a esfera, vale:

0 ≤ r ≤ 4 - z 2

Além disso, o valor de z muda também. Dentro da região do cilindro, será:

0 ≤ z ≤ 3

Agora, para a esfera no topo, temos:

3 ≤ z ≤ 2

Podemos verificar esse valor simplesmente avaliando o valor máximo que a superfície corta o eixo z , ou seja, fazendo x = 0 e y = 0 !

Passo 3

Não podemos nos esquecer do Jacobiano. Para coordenadas cilíndricas (do nosso problema) ele se torna:

d x   d y   d z = r   d r   d z   d θ

Vamos montar nossa integral agora!

Para d z   d r   d θ :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 4 - r 2 r   d z   d r   d θ

Para d θ   d z   d r :

∫ 0 1 ∫ 0 4 - r 2 ∫ 0 2 π r   d θ   d z   d r

Para d r   d z   d θ :

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 0 1 r   d r   d z   + ∫ 3 2 ∫ 0 4 - z 2     r   d r   d z   d θ

Resposta

Para d z   d r   d θ :

∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 4 - r 2 d z   r   d r   d θ

Para d θ   d z   d r :

∫ 0 1 ∫ 0 4 - r 2 ∫ 0 2 π r   d θ   d z   d r

Para d r   d z   d θ :

∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 0 1 r   d r   d z   + ∫ 3 2 ∫ 0 4 - z 2     r   d r   d z   d θ

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