Seja D a região delimitada abaixo pelo plano , acima pela esfera e dos lados pelo cilindro . Monte as integrais triplas em coordenadas cilíndricas que fornecem o volume de D, utilizando as seguintes ordens de integração.
Passo 1
Faaaala, cara! Tranquileba?
Fazendo um esboço da imagem das funções, teremos:
E por aqui já temos todas informações necessárias ara achar nossas respostas
Passo 2
Vemos que a giração de é por todo o espaço, logo:
Para o raio, temos , mas sabemos das coordenadas cilíndricas que de forma que:
Isso para a região dentro do cilindro. A partir do topo do cilindro, o raio tem tamanho diferente. Analisando a expressão para a esfera no topo do cilindro temo:
Como sabemos, , e teremos:
Ou seja:
Na região dentro do cilindro, vale:
Agora, para a esfera, vale:
Além disso, o valor de muda também. Dentro da região do cilindro, será:
Agora, para a esfera no topo, temos:
Podemos verificar esse valor simplesmente avaliando o valor máximo que a superfície corta o eixo , ou seja, fazendo e !
Passo 3
Não podemos nos esquecer do Jacobiano. Para coordenadas cilíndricas (do nosso problema) ele se torna:
Vamos montar nossa integral agora!
Para :
Para
Para
Resposta
Para :
Para
Para