Enunciado

As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular.

∫ π 6 π 3 ∫ c o s s e c ϕ 2 c o s s e c ϕ ∫ 0 2 π ρ 2 s e n ϕ d θ d ρ d ϕ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

As técnicas utilizadas para resolver esse tipo de problema costuma ser de tipo relações trigonométricas, então é bom termos esse conhecimento para que possamos resolver o mais rápido e de forma correta.

Dito isso... Vem comigo!

Passo 2

∫ π 6 π 3 ∫ c o s s e c ϕ 2 c o s s e c ϕ ρ 2 s e n ϕ θ 0 2 π   d ρ d ϕ

∫ π 6 π 3 ∫ c o s s e c ϕ 2 c o s s e c ϕ 2 π ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ

∫ π 6 π 3 ( 2 3 π s e n ( ϕ ) ρ 3 c o s s e c ϕ 2 c o s s e c ϕ )   d ϕ

14 3 π ∫ π 6 π 3 s e n ϕ c o s s e c 3 ϕ d ϕ

14 3 π ∫ π 6 π 3 c o s s e c 2 ϕ d ϕ

Passo 3

Sabemos que ∫ c o s s e c 2 x = - cot g ⁡ x + C . Assim:

14 3 π - c o t g ϕ π 6 π 3

14 3 π - 1 3 + 3

Sabemos que 1 3 = 3 3

14 3 π 2 3 3

Resposta

28 π 9 3

Ou se preferir podemos multiplica por 3 em cima e em baixo

28 π 3 3

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