Enunciado

9. Seja D a região do plano xy limitada pelas circunferências C 1 e C 2 de equações

x 2 + y 2 = 1

E

x 2 + y 2 = 25

Respectivamente. Se F 1 x , y   e F 2 x , y são de classe C 1 em D e ∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1 ∂ y em D. Quais os possíveis valores da integral

∮ C F 1 d x + F 2 d y

Onde C é uma curva qualquer fechada contida em D, C¹ por partes, sabendo -se que

∮ C 1 F 1 d x + F 2 d y = ∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y = 2 π

Quando C 1   e C 2 estao orientadas no sentido anti-horario. Justifique sua resposta

Passo 1

Oii, estamos ingressando no mundo dos teoremas de integração de cálculo. E nessa parte da matéria temos que aprender que existem muitas respostas diferentes utilizando caminhos diferentes como é neste caso de integração de linha. OU várias formas de se calcular que geram o mesmo resultado!

Sim, você ouviu certo. Vão ter contas que podemos fazer por ate 3 caminhos diferentes. Então a pergunta é : qual escolher? Segue vendo as nossas resoluções que vamos te dar umas dicas.

Passo 2

Neste capítulo trabalhamos conceitos de funções vetoriais, Teorema de Green e Campo conservativo. Vamos ter que lançar mãos de tudo isso para resolver nossas questões. Bora fazer uma revisão de leve nos teoremas. O Teorema de Green diz

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

Outra forma de enxergar seria

∮ c F ⋅ d r   = ∫ ∫ R ∇ × F d x d y  

Quando nosso campo é conservativo, acontece que

∇ × F = 0

Podemos fazer o rotacional e descobrir isso, ou por uma simples propriedade de diferenciação saber que

∇ × ∇ U = 0

e quando o nosso campo é conservativo podemos dizer que existe uma função Potencial U, de forma que

∇ U = F

Beleza? É bom fazer essa revisãozinha pra a gente já chegar afiado nas questões!!!!

Passo 3

Nesta questão temos que nossa região é

O espaço entre as duas equações e como elas tem a mesma orientação

∮ C 1 F 1 d x + F 2 d y = ∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y = 2 π

Agora a solução é feita por um argumento geométrico. Se pegarmos uma curva qualquer entre esses dois círculos teremos

OU seja essa curva C3 como esta na mesma orientação que as outras duas logo

∮ C 1 F 1 d x + F 2 d y = ∮ C 2 F 1 d x + F 2 d y = ∮ C 3 F 1 d x + F 2 d y = 2 π

Agora se eu orientar de forma contraria, logo o sinal do nosso resultado sera trocado

∮ C 3 F 1 d x + F 2 d y = - 2 π

Passo 4

Agora se eu pegar uma curva qualquer dentro da nossa região

Entao teríamos que aplicar o teorema de green

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y  

E como o enunciado diz

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

Logo essa curva teria valor nulo

∮ c F 1 d x + F 2 d y   = ∫ ∫ R ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

2 π ,   - 2 π   ,   0

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