Enunciado

Seja L 1 a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 6) e (2, 4, 8). Seja L 2 a reta de interseção dos planos π 1 e π 2 , onde π 1 é o plano x - y + 2 z + 1 = 0   e π 2 é o plano que passa pelos pontos (3, 2, -1), (0, 0, 1) e (1, 2, 1). Encontre a distância entre L 1 e L 2 .

Passo 1

O vetor de L 1 é 1,2 , 2 .

Pra achar o vetor de L 2 vai dar um trabalhinho...

Vamos partir dos planos. O vetor v 1 = 1 , - 1,2 é um vetor normal ao plano π 1 . Vamos achar um para o π 2 agora.

Bom, ele passa pelos pontos 3,2 , - 1   ,   0,0 , 1   e   ( 1,2 , 1 ) , então podemos tirar dois vetores paralelos daqui: 3,2 , - 2   e   1,2 , 0 . Pra achar o normal é só fazer 3,2 , - 2 × ( 1,2 , 0 ) que encontramos 4 , - 2,4 .

Passo 2

Mas, para acharmos o vetor da reta L 2 (paralelo), vamos achar um vetor que é perpendicular aos vetores dos dois planos. É só fazer:

1 , - 1,2 × 4 , - 2,4

A gente encontra o vetor:

0,2 , 1

Que é o vetor da reta.

Agora a gente precisa escrever dois planos paralelos que passam por essas retas.

O vetor é normal, então vamos fazer o produto vetorial (de novo!) entre os vetores das retas...

Passo 3

1,2 , 2 ∙ 0,2 , 1

Isso vai dar:

- 2 , - 1,2

Que vai ser o vetor dos nossos planos.

Eles passam pelos pontos das retas, então é só substituir na equação do plano e encontramos o d .

Ficamos com os planos:

2 x - y + 2 z - 8 = 0

e

2 x - y + 2 z + 10 = 0

Passo 4

Agora nós substituímos na fórmula da distância entre planos paralelos...

D =   | d 1 - d 2 | a 2 + b 2 + c 2

D =   - 8 - 10 2 2 + - 1 2 + 2 2

D = 18 9 = 18 3 = 6

Essa é a distância entre as retas😊

Resposta

D =   6

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