Enunciado

Seja f ( n ) a soma dos n termos de uma progressão aritmética. Demonstrar que f n + 3 - 3 f n + 2 + 3 f n + 1 - f n = 0 .

Passo 1

Tá, a soma dos termos de uma P.A a gente pode fazer assim:

f n = a 1 + a 1 + r + a 1 + 2 r + … + a 1 + n - 1 r

= n a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n - 1 r

Então beleza, a gente vai substituir o n por n + 1 ,   n + 2 ,   n + 3   pra verificar se é verdadeiro aquilo ali.

Passo 2

f n + 1 = n + 1 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n r

f n + 2 = n + 2 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 1 r

f n + 3 = n + 3 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 2 r

Show! Agora é só substituir na relação que deram.

Passo 3

f n + 3 - 3 f n + 2 + 3 f n + 1 - f n

n + 3 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 2 r - 3 n + 2 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n + 1 r + 3 n + 1 a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n r - n a 1 + 1 + 2 + 3 + … + n - 1 r  

= n a 1 + 3 a 1 - 3 n a 1 - 6 a 1 + 3 n a 1 + 3 a 1 - n a 1 + 1 + 2 + … + n + 2 r - 3 1 + 2 + … + n + 1 r + 3 1 + 2 + … + n r - 1 + 2 + … + n + 1 r

=   - 3 1 + 2 + … + n r - 3 n + 1 r + 3 1 + 2 + … + n r + 1 + 2 + … + n r + n + 1 r + n + 2 r - 1 + 2 + … + n + 1 r

=   - 3 n + 1 r + 1 + 2 + … n + 1 r + n r + n + 1 r + n + 2 r - 1 + 2 + … + n + 1 r

=   - 3 n + 1 r + n r + n + 1 r + n + 2 r

=   - 3 n r - 3 r + n r + n r + r + n r + 2 r

= 0

Ufa! Conseguimos! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sabendo que f = g ∘ h , nos itens a ,c ,e( d ) encontre a função h , e na ( b ) a função g . f x = x 2 + 1 ,g x = x + 1
Para cada item f + g , f - g , f ∙ g , f g ,f ∘ g ,g ∘ f ,k ∙ f , onde k é uma constante. f x = 2 x , g x = x 2 + 1
Para cada item f + g , f - g , f ∙ g , f g ,f ∘ g ,g ∘ f ,k ∙ f , onde k é uma constante. f x = x 1 + x 2 , g x = 1 x
27.Se f ( x ) = x 2 , encontre duas funções g para os quais ( f o g ) = 4 x 2 - 12 x + 9 .