Enunciado

Seja A = { x , y ∈ I R 2 /   5 -   x 2 - 4 y 2 ≥ 0 } . Suponha que o gráfico de z =   5 -   x 2 - 4 y 2 . x , y ∈ A , represente a superfície de um monte. (Adote o km como unidade de media.) Um alpinista que se encontra na posição (1, 1, 0) pretende escalá-lo. Determine a trajetória a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior aclive. Sugerimos ao leitor desenhar o monte e a trajetória a ser descrita pelo alpinista.

Passo 1

OI OI OI, estamos aqui para mais uma questão, dessa vez envolvendo o vetor gradiente, usaremos a equação do vetor gradiente:

∇ f   = (   ∂ z ∂ x   ,   ∂ z ∂ y     ) (1)

MEU DEUS, O QUE ESTÁ ACONTECENDO? Oh céus, se não estás entendo essa equação, o que estás fazendo aqui gafanhoto? Se quiser entende-la, procure aí no Responde Aí as aulas de calculo que garanto que entenderá essa equação, BEM, agora que avisamos os curiosos, borá resolver essa questão.

Passo 2

Por que usaremos o vetor gradiente? Bem, porque a questão fala que nosso nobre alpinista busca a direção com a maior inclinação do terreno (Pois é, esse livro possui um vocabulário bem complexo), então usaremos o vetor gradiente para termos a direção que deveremos seguir a partir do ponto P em que há uma maior inclinação desse terreno, borá lá.

∇ f   = (   ∂ z ∂ x   ,   ∂ z ∂ y     )

∇ f   = (   - 2 x   ,   - 8 y     )

∇ f   ( P ) = (   - 2   ,   - 8 )

AÍ ESTÁ, o que conseguimos com esse resultado? Bem, ele nos fala a direção em que o alpinista deve seguir para ter sempre a maior inclinação, isso, quando ele está no ponto P (1,1,0), se o ponto fosse diferente, então provavelmente teríamos outra direção

É TUDO POR HOJE, bons estudos ;)

Obs: Vai beber água que ta na hora, obrigado, de nada.

Resposta

∇ f   ( P ) = (   - 2   ,   - 8 )

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14.34. Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 onde x , yez são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas 50 ,80
Determine a derivada direcional de f x ,y ,z = x y ² z ³ ² ³ em P ( 2 ,1 ,1 ) na direção de Q ( 0 ,- 3 ,5 ) .
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.24. f x ,y ,z = x ln ⁡ ( y z ) ,1 ,2 , 1 2
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.25. f x ,y ,z = x y + z ,( 8 ,1 ,3 )
Determine as direções em que a derivada direcional de f x ,y = x 2 + x y ³ ³ no ponto ( 2 ,1 ) tem valor 2 .