Enunciado

Seja f x = 1 + x 3 .

a Use um C A S para aproximar o valor máximo de f ' ' x em 0 ,   1 .

b Qual é o tamanho de n na aproximação trapezoidal de ∫ 0 1 f x d x para garantir que o erro absoluto seja menor do que 10 - 3 ?

c Calcule a integral usando a aproximação trapezoidal com o valor de n obtido em b .

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vem com a gente!!

Vamos resolver a primeira parte usando um C A S (Sistema Algébrico Computacional) chamado Desmos para nos ajudar a estimar o valor máximo da segunda derivada da função dada.

Em seguida, precisamos estimar o valor de n subdivisões para atender a uma precisão específica. Pra isso, temos que nos recordar da fórmula para estimativa do erro absoluto que, para a aproximação trapezoidal, é dada por:

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Onde a e b são os intervalos de integração e K 2 é o valor máximo da segunda derivada da nossa função (iremos utilizar o valor encontrado na parte a ).

Por último, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

T n = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Vamos resolvê-la com o valor de n que encontrarmos antes.

Passo 2

Então, derivando a função f x iremos ter:

f ' x = 3 x 2 2 1 + x 3

E derivando novamente:

f ' ' x = 3 x x 3 + 4 4 1 + x 3 3 / 2

Plotando o gráfico dessa função obtida no C A S , conseguimos ver no intervalo 0 ,   1 no eixo x :

Tal que o valor máximo de f ' ' x é y = 1,468 .

Logo:

f ' ' x = 1,468

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de subdivisões da aproximação através de:

E T ≤ b - a 3 K 2 12 n 2

Tal que o erro absoluto deve ser menor do que 10 - 3 .

Como K 2 = f ' ' x , teremos:

E T ≤ 1 - 0 3 1,468 12 n 2 ≤ 10 - 3

Ou seja:

n 2 ≥ 1,468 12 10 - 3

E, portanto:

n ≥ 11,06

Visto que n deve ter um valor inteiro e par, temos que o menor número de subdivisões será:

n = 12

Passo 4

Por fim, vamos calcular a integral:

∫ 0 1 f x d x

Através do método da aproximação pelo ponto médio. Logo:

∫ 0 1 1 + x 3 d x ≈ T n = b - a 2 n y 0 + 2 y 1 + 2 y 2 + … + 2 y n - 1 + y n

Para facilitar o nosso cálculo, vamos montar uma tabela e calcular o valor de cada y . Temos, então:

Tal que a aproximação será dada por:

∫ 0 1 1 + x 3 d x ≈ 1 - 0 24 2 6,6894889

Dessa forma, obtemos:

∫ 0 1 1 + x 3 d x ≈ 1,112062037

Resposta

a   f ' ' x = 1,468

b   n = 1 2

c   ∫ 0 1 1 + x 3 d x ≈ 1,112062037

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