Enunciado

Calcule a integral de linha

∫ ( 1,2 , 1 ) ( 2,1 , 1 ) ( 2 x ln ⁡ y - y z ) d x + x 2 y - x z   d y - x y d z

Passo 1

Falaaaaaa meus abençoados, tudo blz?

Então sendo,

f x , y , z = 2 x ln ⁡ y - y z i + x 2 y - x z j - x y k  

∂ P ∂ y = - x = ∂ N ∂ z

∂ M ∂ z = - y = ∂ P ∂ x

∂ N ∂ x = 2 x y - z = ∂ M ∂ y

Passo 2

Assim vamos ter que,

M d x + N d y + P d z ,   vai ficar

f x , y , z = x 2 ln ⁡ y - x y z + g ( y , z )

∂ F ∂ y = x 2 y - x z + ∂ g ∂ y = x 2 y - x z

∂ g ∂ y = 0

Chamando g x , y = h ( z ) temos que ,

f x , y , z = x 2 ln ⁡ y - x y z + h ( z )

∂ F ∂ z = - x y + h ' z = - x y

h ' z = 0 → h z = 0

f x , y , z = x 2 ln ⁡ y - x y z + c

∫ ( 1,2 , 1 ) ( 2,1 , 1 ) 2 x ln ⁡ y - y z d x + x 2 y - x z d y - x y d z  

f 2,1 , 1 - f 1,2 , 1 = 4 ln ⁡ 1 - 2 + c - ln ⁡ 2 - 2 + c = - ln ⁡ 2

Resposta

- ln ⁡ 2

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