Seja F(x, y) = -y/(x^2 + y^2) i + x/(x^2 + y^2) j , (x, y) != (0, 0) .

  1. Verifique que para todo (x, y) ≠ (0, 0)

∂P/∂y (x, y) = ∂Q/∂x (x, y)

Passo 1

Perceba que nosso trabalho aqui é identificar quem são P e Q e derivar. Então , vamos lá.

Passo 2

Pela definição de campo vetorial

P x , y =   - y x 2 + y 2   e     Q x , y = x x 2 + y y

Derivando,

∂ P ∂ y     x , y = - x 2 + y 2 + y 2 x x 2 + y 2 2 = - x 2 - y 2 + 2 x y x 2 + y 2 2

E,

∂ Q ∂ x     x , y = x 2 + y 2 - x 2 y x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - x 2 y x 2 + y 2 2

Colocando menos em evidencia,

∂ Q ∂ x     x , y =   x 2 + y 2 - x 2 y x 2 + y 2 2 = - x 2 - y 2 + 2 x y x 2 + y 2 2

Pra finalizar, temos que

∂ Q ∂ x     x , y = ∂ P ∂ y     x , y  

Fechooou!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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