Enunciado

A imagem da curva γ ( t ) está contida na intersecção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 3 e x 2 + 3 y 2 - z 2 = 3 . Suponha que γ t 0 = ( 1 ,   1 ,   1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → . Determine a reta tangente a γ em γ ( t 0 ) .

Passo 1

A questão pede para acharmos a equação da reta tangente a uma curva que é dada pela intersecção de duas superfícies no ponto 1 ,   1 ,   1 . Para isso, vamos precisar achar o vetor tangente à curva nesse ponto.

O primeiro passo é reescrever as superfícies como se fossem superfícies de nível de funções de três variáveis:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

g x , y , z = x 2 + 3 y 2 - z 2 - 3

Os gradientes dessas funções darão os vetores normais aos respectivos planos tangentes:

∇ f x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z ⇒ ∇ f 1 ,   1 ,   1 = 2 ,   2 ,   2

∇ g x , y , z = 2 x , 6 y , - 2 z ⇒ ∇ g 1 ,   1 ,   1 = ( 2 ,   6 ,   - 2 )

Passo 2

O vetor tangente à curva dada pela intersecção de duas superfícies será ortogonal ao vetor normal de cada superfície. Assim, ele pode ser obtido pelo produto vetorial desses dois vetores:

γ ' t 0 = 2 ,   2 ,   2 × 2 ,   - 6 ,   - 2 = i → j → k → 2 2 2 2 6 - 2

Portanto,

γ ' t 0 = ( - 16 ,   8 ,   8 )

Por simplicidade, como só estamos interessados na direção desse vetor, vamos escolher u → = ( - 2 ,   1,1 ) como vetor diretor para a reta tangente.

Passo 3

A equação da reta é dada por

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + λ u →

Assim,

x , y , z = 1 ,   1 ,   1 + λ ( - 2 ,   1,1 )

Resposta

x , y , z = 1 ,   1 ,   1 + λ ( - 2 ,   1,1 )

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Determine uma função y = y ( x ) cujo gráfico intercepte ortogonalmente as curvas da família x y = c , com x , y0 , atl que y 1 = 1 Y(1)= 2
Determine todas as funções A = x , y ,y0 ∪ x , y ,x0 tal que φ - 1,1 = π 4 , tal que ∇ φ x , y ,= - y x 2 + y 2,x x 2 + y 2
Seja F → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → , x , y ≠ 0,0 .Verifique que para todo x , y ≠ ( 0,0 ) ∂ P ∂ y x , y = ∂ Q ∂ x ( x , y )
Seja F → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → , x , y ≠ 0,0 .b) Calcule ∫ 0 2 πF y t ⋅ y ' t d t , onde γ t = cos ⁡ t , s e n t ,t ∈ [ 0 , , 2 π ]
Seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → um campo de forças, com P , Q s funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Seja γ t = ( x t , y t ,t ∈ [ a , b ] , uma curva de classe C 1 , com γ a = γ ( b ) ( γ