Enunciado

Sejam f x = 2 - x 2 e g x = x . Em cada parte, dê a fórmula para a composição e o correspondente domínio.

(a) f ∘ g

(b) g ∘ f

Passo 1

Bom, nessa questão vamos usar isso aqui:

f ∘ g x = f g ( x )

Dessa forma, o domínio da composição f g ( x ) consiste em todo x no domínio de g com o qual g ( x ) está no domínio de f . Como assim?

Vamos ver o domínio de g e o de f , depois, vamos ver quais os valores do domínio de g que fazem g ( x ) se encaixar no domínio de f . Vai ficar melhor na prática!

Show?? Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais são os domínios de f e g . Temos que procurar por divisões por zero e raízes negativas!

f x = 2 - x 2

Temos nenhuma restrição aqui! x pode assumir qualquer valor dentro dos reais!! Assim, o domínio de f é:

- ∞ ,   + ∞

E:

g x = x

A única coisa que restringe o nosso domínio é a raiz quadrada, pois não podemos ter um valor negativo dentro dela. Então, x > 0 . Logo, o domínio de g é:

0 , + ∞

Passo 3

(a) Vamos colocar g dentro de f !! É só substituir o x de f pela função g ( x ) :

f ∘ g = 2 - x 2

f ∘ g = 2 - x 2

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de g que tornam g um valor dentro do domínio de f .

Já vimos que o domínio de g consiste nos números positivos, certo? Qualquer valor que g assume nesse intervalo será um número positivo, também!

Agora, olhando para o domínio de f , que são todos os números reais (positivos e negativos). Logo, um número positivo (que g poderia assumir) está dentro desse intervalo de f né? Sem problemas! Dessa forma, o domínio da composição será o próprio domínio de g , pois todos os valores que g assume estão no domínio de f :

[ 0 , + ∞ )

Passo 4

(b) Vamos colocar f dentro de g !! É só substituir o x de g pela função f ( x ) :

g ∘ f = 2 - x 2

Essa será a nossa composição. E o domínio? Só lembrar do que falamos no primeiro passo: o domínio será composto dos valores do domínio de f que tornam f um valor dentro do domínio de g .

Já vimos que o domínio de f consiste em todos os números reais (positivos e negativos), certo? Qualquer valor que f assume nesse intervalo será ou um número positivo ou negativo, também!

Agora, olhando para o domínio de g , que são os números positivos, apenas. Logo, um número positivo (que f poderia assumir) está dentro desse intervalo de g né? Sem problemas! MAAAASS f também pode assumir valores negativos! E esses valores negativos não se encaixam no domínio de g .

Olhando para f x = 2 - x 2 , queremos que ela seja positiva, então! Assim:

2 - x 2 ≥ 0

x 2 ≤ 2

Ou seja:

x ≤ 2

Ou

x ≥ - 2

Dessa forma, x está entre - 2 e 2 . Pois, assim, f x > 0 .

Dessa forma, o domínio da composição será:

[ - 2 , 2 ]

Resposta

(a) f ∘ g = 2 - x 2 ; [ 0 , + ∞ )

(b) g ∘ f = 2 - x 2 ; [ - 2 , 2 ]

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