Enunciado

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r 2 + s 2 e y = 2 r s , determine ∂ 2 z / ∂ r   ∂ s .

(Compare com o Exemplo 7.)

Passo 1

Se temos

∂ 2 z ∂ r ∂ s

Quer dizer que derivamos z parcialmente em relação a s e depois a r , então

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ( 2 s ) + ∂ z ∂ y ( 2 r )

Passo 2

Derivando agora em relação a r , no segundo termo teremos que aplicar a regra do produto

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ x ∂ r + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ r 2 s + ∂ 2 z ∂ y 2 ∂ y ∂ r + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ x ∂ r 2 r + 2 ∂ z ∂ y

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 ( 2 r ) + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ( 2 s ) 2 s + ∂ 2 z ∂ y 2 ( 2 s ) + ∂ 2 z ∂ x ∂ y ( 2 r ) 2 r + 2 ∂ z ∂ y

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ y ∂ x 4 s 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 4 r 2 + 2 ∂ z ∂ y

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ y 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 4 r 2 + 4 s 2 + 2 ∂ z ∂ y

Passo 3

No exemplo 7 tivemos um resultado parecido, mas de certa forma invertendo algumas coisas, nesse exemplo foi calculado ∂ 2 z ∂ r 2 , para a mesma função e variáveis do enunciado, nele foi encontrado

∂ 2 z ∂ r 2 = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 4 s 2 + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 8 r s + 2 ∂ z ∂ x

Podemos encontrar a semelhança e perceber as diferenças, no calculo de ∂ 2 z ∂ r ∂ s encontramos r 2 e s 2 nas segundas derivadas em relação a uma variável depois a outra, e os termos com r s nas derivadas a uma variável só ∂ 2 z ∂ x 2 ou ∂ 2 z ∂ y 2 , no exemplo 7 obtivemos o contrário.

Resposta

∂ 2 z ∂ r ∂ s = ∂ 2 z ∂ x 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ y 2 4 r s + ∂ 2 z ∂ x ∂ y 4 r 2 + 4 s 2 + 2 ∂ z ∂ y

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