Sejam sigma: Ω ⊂ R^2 → R^3 e φ: Ω_1 ⊂ R^2 → R^3 duas superfícies regulares, sendo phi obtida de sigma pela mudança de parâmentros (u, v) = H(s, t) = (u(s, t), v(s, t)) (veja exercício anterior). Sejam K ⊂ Omega e K_1 ⊂ Ω_1 , compactos com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio e tais que H(K1) = K1. Prove que

∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v = ∬ K 1 ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t d s d t

Passo 1

Do problema anterior, temos que

∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t = ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v ∂ u , v ∂ s , t  

Passo 2

Assim teremos que

∬ K ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v = ∬ K ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t ∂ s , t ∂ u , v   d u d v

Como o jabobiano é um número, podemos tirar ele da norma

∬ K ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t   ∂ s , t ∂ u , v d u d v

Agora como temos uma transformação H s , t = u s , t , v s , t , então

d s d t = ∂ s , t ∂ u , v d u d v

Desta forma

∬ K ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t   ∂ s , t ∂ u , v d u d v = ∬ K 1 ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t d s d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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